x - Fisica - Sapienza

cov( mˆ , cˆ)
x
−
Var(
x)(
∑
=
N
i=
1
1
2 )
σ
che diventa, nel caso di varianze sulle y tutte uguali:
2
x σ
cov( mˆ , cˆ)
= −
Var(
x)
N
i
in cui di nuovo compare il termine σ 2 /N e si ha la dipendenza inversa dal “braccio di leva”. Si noti
come tale covarianza sia nulla solo nel caso in cui la media pesata delle x dei punti sia 0. Ovvero
quando l’origine dell’asse X é scelta in modo da farla coincidere con il baricentro dei punti. Nel
caso illustrato in Fig.3.3 tale covarianza é evidentemente diversa da 0, infatti un cambiamento di m
si riflette chiaramente in un cambiamento di c. Ma se in quell’esempio traslassimo l’asse y di circa
16 unità di X facendo combaciare l’origine con il baricentro, la covarianza sarebbe nulla.
(3.5.5) Valutazione della bontà del fit: test del χ 2 .
Finora abbiamo utilizzato il metodo della massima verosimiglianza per rispondere solo alla
domanda (b), cioè abbiamo calcolato le migliori stime dei parametri della retta, ed abbiamo stimato
le varianze di tali stime. Ora vogliamo porci il problema (a). Quanto bene l’andamento rettilineo
“descrive” i dati ?
In Fig.3.4 sono riportati alcuni esempi di confronto tra i dati e la migliore retta ottenuta con il
metodo appena descritto. Possiamo individuare 4 casi differenti tutti illustrati nella figura. I dati
sono rappresentati come punti nel piano y-x corredati da barra di incertezza esclusivamente sulla y
dato che abbiamo supposto trascurabili le incertezze sulle x.
Caso (1): i punti mostrano un andamento rettilineo ma le incertezze sono molto piccole per cui i
punti scartano dalla retta per “molte deviazioni standard”; il numero di deviazioni standard é
calcolato come il rapporto tra lo scarto tra punto e retta e la deviazione standard della misura;
Caso (2): i punti mostrano un andamento rettilineo ma le incertezze sono molto grandi, per cui i
punti scartano dalla retta solo per “frazioni di deviazione standard”;
Caso (3): i punti mostrano un andamento diverso da quello lineare. Gli scarti dei punti dalla retta
hanno a loro volta un andamento;
Caso (4): i punti mostrano un andamento rettilineo con le incertezze tali per cui i punti scartano per
“frazioni di deviazione standard” o al piu’ per “qualche deviazione standard”;.
Per rendere quantitativa questa discussione chiamiamo residuo lo scarto punto retta:
res
i
=
y
i
− mx ˆ
i
− cˆ
In Fig.3.5 sono mostrati per gli stessi 4 esempi della precedente figura gli andamenti dei residui in
funzione di x corredati con la stessa incertezza della y. Si osserva in modo più chiaro quanto detto
sopra.
Concludiamo che: nei casi (1) e (2) l’andamento rettilineo é ragionevole, ma sono mal stimate le
incertezze dei punti. In verità nel caso (1) potrebbero anche esserci effetti tali da dare un andamento
molto irregolare ma ciò é molto inverosimile. Nel primo caso la media del modulo dei residui é
molto maggiore e nel secondo molto minore delle singole σ stimate dai dati. Nel caso (3) occorre
prendere in considerazione un andamento diverso da quello lineare. L’andamento dei residui può
essere sintomo di “nuova fisica” cioè di effetti nuovi che il modello non spiega, oppure di effetti
strumentali non capiti. Infine il caso (4) é quello “buono”, cioè l’andamento é rettilineo e le
incertezze sono ben stimate.
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