x - Fisica - Sapienza

Che cosa é un Evento. E’ una modalità possibile con cui un dato fenomeno si manifesta. L’insieme
degli eventi costituisce quello che chiameremo spazio degli eventi e che può essere rappresentato
come una parte di un piano. Nell’usare questa rappresentazione, facciamo riferimento alla ben nota
teoria degli insiemi che ha il pregio di essere intuitiva. Chiamiamo Ω l’intero spazio degli eventi,
cioè l’insieme di tutti gli eventi, ovvero l’insieme di tutte le modalità con cui un dato fenomeno si
può svolgere, e 0l’evento nullo, cioè il non verificarsi di alcuna modalità.
(2.3.2) Eventi composti
Come nel caso della teoria degli insiemi, definiamo un certo numero di importanti operazioni tra
eventi. Dati due eventi A e B definiamo
- somma logica (OR) A ∪ B quell’evento che può manifestarsi o secondo la modalità A o
secondo la modalità B;
- prodotto logico (AND) A ∩ B quell’evento che si manifesta quando si manifestano sia A
che B
- eventi incompatibili quei due eventi A e B tale che il manifestarsi dell’uno implica il non
manifestarsi dell’altro e viceversa, cioè le modalità dei due eventi sono tali da farli escludere
reciprocamente. Evidentemente la condizione di incompatibilità si può esprimere come
A ∩ B = 0
- eventi opposti quei 2 eventi A e B incompatibili tali che la loro somma logica sia uguale a
Ω. L’evento opposto di A si indica anche come A; vale dunque: A ∪ A = Ω
- un evento A é incluso in B, quando tutte le modalità di A sono anche modalità di B: A ⊂ B
Tutte le definizioni date hanno un corrispettivo grafico che é facilmente caratterizzabile utilizzando
i ben noti diagrammi della teoria degli insiemi.
(2.3.3) Definizione assiomatica della probabilità
Definiamo il simbolo P(E) (probabilità dell’evento E) in modo del tutto formale, come una
caratteristica di E avente le seguenti proprietà(definizioni assiomatiche di Kolmogorov):
positività: 0 ≤ P ( E)
≤ 1 la probabilità associata ad un evento é un numero reale e positivo non
superiore a 1;
certezza: P ( Ω)
= 1 e P ( 0) = 0 la probabilità dell’intero spazio degli eventi é pari a 1 e
quella dell’evento nullo é 0;
unione: se A e B sono incompatibili P ( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
Si noti che si tratta di una definizione “formale” che non dice nulla riguardo il significato di questa
operazione P(E) che associa un numero reale ad un evento. Si chiama appunto definizione
assiomatica perché stabilisce delle regole a partire dalle quali possono essere dedotte tutte le altre
proprietà.
(2.3.4) Probabilità condizionata
Nello scrivere il simbolo P(E) intendiamo dire la probabilità dell’evento E. Si noti tuttavia anche
per le considerazioni fatte sulle misure nella prima parte del corso, che ha senso chiedersi della
probabilità di un evento solo quando sono specificate le condizioni all’interno delle quali l’evento é
definito. Dunque é più generale esprimere la probabilità di E come la probabilità di E date le
condizioni H. Scriveremo pertanto P(E/H). Il simbolo P(E/H) esprime quella che si chiama
probabilità condizionata. Per quanto detto dunque la probabilità é sempre condizionata. Si noti che
il simbolo P(E/H) non é la stessa cosa di P( E ∩ H ) come si potrebbe pensare a prima vista.
Tutto va come se la condizione H definisse il nuovo spazio degli eventi su cui calcolare la
probabilità di E. Si tratterà dunque di calcolare
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