x - Fisica - Sapienza

P ( x M
−σ
< μ < x + σ ) = 68.3%
M
Si noti il procedimento seguito, che é consistito nell’individuare la densità di probabilità di μ a
partire dalla verosimiglianza.
Nel caso in cui il valore x M proviene da una misura diretta letta su una scala “analogica” sappiamo
che si tratta di stimare al meglio la precisione di interpolazione. Si potrebbe pensare di usare una
misura come quella fatta in laboratorio per il nonio (aumentando magari il numero di osservazioni)
come misura della popolazione della variabile δx scarto del valore misurato dal valore vero. Se tale
popolazione si rivela essere gaussiana caratterizzata da valore atteso nullo e varianza σ 2 si può
procedere come nel caso appena trattato dando un intervallo gaussiano di semilarghezza σ.
In questi casi é evidente che per avere un intervallo del tipo di quelli chiamati di “quasi certezza” nel
capitolo 1, occorrerà moltiplicare per 3 la larghezza dell’intervallo portando cosi’ il contenuto
probabilistico dell’intervallo al 99.7%.
Se invece la misura in questione proviene da un display digitale fisso e Δx é l’ampiezza
dell’intervallo corrispondente all’ultimo digit centrato in x M , posso affermare che, per quel che posso
sapere, la densità di probabilità di μ è uniforme tra x M - Δx/2 e x M + Δx/2. Non ho nessun elemento
infatti per privilegiare una parte dell’intervallo rispetto ad un’altra. In tal caso la migliore stima del
valore vero e della sua incertezza, avente il significato di deviazione standard della distribuzione di x
(vedi cap.(2.4)) é
ˆ μ =
Δx
x M
±
12
corrispondente ad un intervallo di probabilità del 57.7%. In questo caso un intervallo di certezza é
ovviamente ± Δx / 2.
Bisogna comunque sempre tenere presente che non esiste un metodo generale. Si tratta di usare tutte
le informazioni a disposizione e, se non si hanno informazioni sufficienti, in generale non si potrà
dare una stima sensata di un intervallo.
(3.2.2) Caso di una misura ripetuta N volte.
Se invece ho un campione di dimensione N (sequenza di numeri) posso calcolare x ed s . Di
nuovo però é interessante distinguere tra due casi, cioè tra il caso in cui ho informazioni aggiuntive
al mio campione e il caso in cui tutte le mie informazioni sono date dal campione.
Supponiamo allora di conoscere a priori che x ha una distribuzione gaussiana con valore atteso μ e
varianza σ 2 : la variabile
x − μ
σ
N
è una gaussiana standardizzata, e dunque, applicando le stesse considerazioni fatte per il caso della
singola misura, un intervallo
x −
σ
< ˆ μ < x +
N
σ
N
è caratterizzato da un intervallo di probabilità del 68.3%. Infatti se il misurando è caratterizzato da
una popolazione gaussiana, la media di N misure estratte da questa popolazione é (a maggior
ragione) gaussiana e d’altra parte sappiamo che la sua varianza é la varianza di x diviso N. Allora
posso ripetere il ragionamento fatto per la singola misura e scrivere come risultato:
95