x - Fisica - Sapienza

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Si ha quando tutti i valori possibili della variabile hanno la stessa probabilità di essere ottenuti, ovvero quando la probabilità di un intervallo é pari al rapporto tra la larghezza dell’intervallo e la larghezza totale dell’intervallo di definizione della variabile. Detti rispettivamente N il numero di valori possibili nel caso di variabile discreta ed [a,b] l’insieme di definizione della variabile continua, si ha: 1 p( n) = N 1 f ( x) = b − a Si noti che non si possono avere variabili con distribuzioni uniformi tra -∞ e+∞ né discrete né continue. La definizione di p(n) e di f(x) per variabili discrete e continue uniformi sono fatte in modo tale che le variabili in questioni siano normalizzate. N oltreché b ed a sono i parametri. Esempi di distribuzioni uniformi si hanno sia per le variabili discrete (tombola, lancio di 1 dado) che per variabili continue (è il caso del display digitale dove immaginiamo una distribuzione uniforme tra i 2 estremi dell’intervallo). E’ interessante calcolare valore atteso e varianza. Lo facciamo per il caso di variabile continua. Per il calcolo della varianza é conveniente fare la sostituzione t = x – E[x] b 1 1 b 1 E[ x] = ∫x dx = ∫xdx = a a b − a b − a b − a b Var[ x] = ∫( x − E[ x]) a 3 ( b − a) ( b − a) = = 12( b − a) 12 2 2 1 1 dx = b − a b − a 2 x 2 b−E [ x ] ∫ a−E [ x ] b a 2 2 b − a b + a = = 2( b − a) 2 3 2 1 t t dt = b − a 3 da cui si deducono i 2 importanti risultati: il valore atteso di variabile casuale avente una densità di probabilità uniforme é il centro dell’intervallo; la varianza é invece pari all’ampiezza dell’intervallo al quadrato diviso 12 e la deviazione standard della popolazione é ampiezza dell’intervallo / √12. Quindi nel caso in cui la mia variabile abbia una distribuzione uniforme tra a e b posso stimare valore medio e deviazione standard dando centro dell’intervallo ± ampiezza / √12. Quale é il significato probabilistico di un intervallo dato in questo modo ? Possiamo calcolarlo nel modo seguente: p( E[ x] −σ[ x] < x < E[ x] + σ[ x]) = 2σ [ x] = = b − a 2( b − a) = 12( b − a) 2 12 = 0.577 E [ x ] + σ [ x ] ∫ E [ x ] −σ [ x ] dx b − a cioè si tratta del 57.7%. Tale valore può essere confrontato con il ~ 70% che avevamo trovato dai dati della prima esercitazione. Tra poche lezioni capiremo il significato di quel valore. Per ora é interessante notare che il contenuto di probabilità di un intervallo standard, dipende dalla forma della distribuzione. Nel caso dell’esercitazione avevamo visto che moltiplicando per 3 l’intervallo standard ottenevamo un intervallo di “quasi-certezza” (entro il quale stava il ~ 99% dei dati). In questo caso per avere un intervallo di quasi-certezza basta ricorrere a ± semiampiezza che fornisce un intervallo di “certezza”. = b−a 2 a−b 2 = 62
(2.6.2) La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale si applica ai cosiddetti processi di Bernoulli. Si tratta di quei processi in cui 2 sono i possibili risultati incompatibili (0 o 1), che chiamiamo successo ed insuccesso caratterizzati da probabilità diverse p(0)=p (1)=1-p (questo esprime l’incompatibilità dei 2 eventi). Molti processi sono schematizzabili in questo modo. Dal punto di vista delle applicazioni alla fisica (tralasciando dunque dadi e monetine) il caso più interessante é quello della misura dell’efficienza di un rivelatore. Consideriamo infatti un rivelatore di radiazione posto in prossimità di una sorgente di radiazioni. Ad ogni passaggio della radiazione proveniente dalla sorgente, il rivelatore può dire Ok (se é efficiente) o non dire nulla (se inefficiente). Il fenomeno é schematizzabile come un processo di Bernoulli nel quale il successo si ha con l’Ok e l’insuccesso con il nulla. Ora, supponiamo che il rivelatore sia stato attraversato da N radiazioni, e di volere sapere quanto é la probabilità di avere avuto n volte Ok e N-n volte nulla. n costituisce dunque la variabile casuale (discreta) di questo problema definita nell’intervallo 0
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propagazione delle incertezze trovi
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