x - Fisica - Sapienza

Si tratta di un numero avente le dimensioni [x 1 ][x 2 ]. Se la densità di probabilità congiunta é pari al
prodotto delle probabilità di ciascuna variabile, cioè se, come si dice, la densità di probabilità
congiunta si fattorizza:
f ( x , x ) = f ( x ) f ( x )
1 2
1 1 2 2
la covarianza sopra definita si annulla. Infatti,
cov[ x , x
b1
∫ ( x
a1
1
1
2
] =
− E[
x ]) f
1
b1
b 2
∫∫(
x
a1
a 2
1
( x ) dx
1
1
− E[
x ])( x
b 2
∫ ( x
1
a 2
1
2
2
− E[
x
− E[
x
2
]) f
2
2
]) f
( x
2
1
( x ) f
1
) dx
2
2
( x
= 0
2
) dx dx
essendo i 2 ultimi integrali ambedue nulli per la definizione di valore atteso.
Quando la probabilità congiunta si esprime come prodotto delle probabilità singole, si dice che le 2
variabili sono indipendenti. In caso contrario si dice che sono correlate. La covarianza é dunque una
misura della correlazione tra le variabili, cioè di quanto la variazione dell’una incide sulla
variazione dell’altra. Per tornare all’analogia con le probabilità viste sopra, il caso di indipendenza
corrisponde all’essere
P ( A ∩ B)
= P(
A/
B)
P(
B)
= P(
A)
P(
B)
.
A partire dalla covarianza si introduce una quantità adimensionale detta coefficiente di correlazione:
ρ[
x , x ] =
1
2
cov[ x , x ]
1 2
Var[
x ] Var[
x
1
2
]
che é come dire la covarianza normalizzata alle varianze. Si dimostra che il coefficiente di
correlazione può assumere solo valori compresi tra –1 ed 1:
−
< ρ [ x , x ] < 1
1
1
2
quando vale 1 si dice che le due grandezze sono completamente correlate, quando vale –1 si dice
che sono completamente anticorrelate. Il caso 0é il caso di non correlazione ovvero di indipendenza.
Le definizione date per una generica popolazione delle 2 variabili x 1 ed x 2 , hanno evidentemente il
corrispettivo campionario nelle variabili introdotte nel capitolo (1.6).
(2.8.3) Calcolo di E[y] e Var[y]
L’importanza di quanto visto nel paragrafo precedente risulta particolarmente evidente quando ci
poniamo il problema della propagazione delle incertezze, cioè del problema cui abbiamo già
accennato nel cap(1.9) di come l’incertezza su una variabile si propaga quando si calcola una
funzione di questa variabile. Tale problema, nel linguaggio delle variabili casuali si traduce nel
chiedersi: data le distribuzioni di x 1 e di x 2 , e dati in particolare i loro valori attesi E[x 1 ] ed E[x 2 ] e le
loro varianze Var[x 1 ] e Var[x 2 ], quale é la distribuzione di y=y(x 1 ,x 2 ) ed in particolare quanto
valgono E[y] e Var[y] ?
Diamo qui i risultati senza dimostrazione. La dimostrazione fa uso dello sviluppo in serie di Taylor
della funzione y intorno ai valori E[x 1 ] ed E[x 2 ] troncata al primo ordine. Pertanto risulta a rigore
valida solo nel limite in cui i termini del secondo ordine sono trascurabili, ovvero nel limite in cui la
funzione é approssimativamente lineare in un intervallo delle 2 variabili pari alle 2 deviazioni
standard. Si ottiene (qualunque sia la forma delle funzione di distribuzione di x 1 e di x 2 ):
E[
y]
= y(
E[
x ], E[
x
⎛ ∂y
Var[
y]
= ⎜
⎝ ∂x1
E [ x1],
E [ x
⎛ ∂y
⎞⎛
∂y
+ 2⎜
⎟⎜
x
⎝ ∂ x
1 E [ x1],
E [ x 2 ] ⎠⎝
∂
2
1
2 ]
2
])
2
⎞ ⎛ ∂y
⎟ Var[
x ] ⎜
1
+
⎠ ⎝ ∂x2
⎞
⎟ cov[ x , x
1
E [ x1],
E [ x 2 ] ⎠
2
E [ x1],
E [ x 2 ]
]
2
⎞
⎟ Var[
x2
⎠
1
] +
2
=
83