x - Fisica - Sapienza

le volte che conto degli eventi che si presentano in modo “casuale” cioè senza una struttura
temporale determinata, la distribuzione di Poisson permette di caratterizzarne le proprietà più
rilevanti.
Introduciamo il processo di Poisson in due modi diversi. Dapprima lo consideriamo come caso
limite del processo di Bernoulli, poi lo introdurremo in modo autonomo sulla base delle
caratteristiche del processo stesso.
Consideriamo dunque un processo di Bernoulli in cui facciamo crescere il numero di prove N e
facciamo diminuire la probabilità del singolo successo p. Facciamo ciò mantenendo però fisso il
prodotto Np che come sappiamo é il valore atteso della distribuzione binomiale. Cosa significa fare
questo limite ? In sostanza il limite corrisponde a considerare il caso in cui sono tantissimi gli
“oggetti” ai quali può accadere qualcosa (sono N) ma questa cosa che può accadere accade poco
probabilmente. Immaginiamo una situazione di questo genere. Abbiamo un campione di N atomi
ciascuno dei quali ha una probabilità p di dare luogo ad un decadimento radioattivo nell’intervallo
di tempo Δt. E’ chiaro che se si tratta di un campione macroscopico (~10 20 atomi per fissare le idee)
e se il nuclide radioattivo ha una “vita media” di milioni di anni saremo in una situazione in cui Né
molto grande e p é molto piccola. Ma non solo, infatti N oltre ad essere molto grande é anche di
difficile determinazione ed in fondo quanto sia non interessa nemmeno tanto. Tuttavia in una
situazione del genere se io ho un contatore di radioattività, io conto un certo numero di decadimenti
nell’unità di tempo Δt e il valore medio di tale conteggio é qualcosa che posso misurare ed é dunque
quella la variabile che mi interessa. Passiamo ora esplicitamente al limite binomiale per N
infinito p 0. Chiamo λ=Np.
lim
N →∞ , p→0
lim
N →∞ , p→0
lim
N →∞ , p→0
n
N!
n
N −n
N!
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
p (1 − p)
= lim ⎜ ⎟ ⎜1
⎟
N →∞ , p→0
−
n!(
N − n)!
n!(
N − n)!
⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠
λ
N
n (1 − )
N(
N −1)(
N − 2)...( N − n + 1) λ N =
n
n!
N λ
n
(1 − )
N
λ
N
n (1 − )
N(
N −1)(
N − 2)...( N − n + 1) λ N
n
N
n!
λ
n
(1 − )
N
Dopo aver riscritto la binomiale in questo modo e avendo introdotto λ, passo ad effettuare i limiti.
Intanto osservo che il fattore
n
λ
n!
non dipende da N e da p e dunque esce fuori dal limite e va messo a fattore comune. Il rapporto
N ( N − 1)( N − 2)...( N − n + 1)
n
N
non dipende da p ma da N. Per N infinito va come N n /N n e pertanto tende a 1. Il fattore
( 1 λ
−
N )
n
dipende solo da N e tende anch’esso a 1 avendo l’unica dipendenza da N a denominatore. Resta
l’ultimo fattore per risolvere il quale facciamo ricorso al limite fondamentale (noto dall’analisi)
N −n
=
67