x - Fisica - Sapienza

In generale la regola é: se nella i-esima casella posso scegliere 1 tra n i degli n elementi, il numero
totale di oggetti che posso costruire é pari a n 1 *...*n i *...*n k cioè devo moltiplicare tra loro tutti i
numeri di scelte possibili.
Distinguiamo ora i vari casi che si incontrano e facciamo dunque una classificazione dei problemi
di calcolo combinatorio, sulla base delle modalità di disposizione.
(1) Disposizioni di n elementi in k caselle. Se gli n elementi che ho a disposizione sono tutti
disponibili e possono essere usati ciascuno più di una volta, allora in ciascuna casella posso disporre
effettivamente n elementi. Il prodotto n 1 *n 2 *...*n k tra il numero di elementi che posso mettere in
ogni casella sarà dato dal prodotto k volte degli n elementi, ovvero da :
k
n
È il caso che si pone quando posso usare più volte lo stesso elemento e allo stesso tempo, la
sequenza nelle k caselle é importante. L’esempio più classico é quello della schedina di totocalcio.
Ho 13 caselle da riempire con 3 elementi. Il numero di modi con cui posso farlo é evidentemente
3 13 .
(2) Disposizioni semplici (cioè senza ripetizioni) di n elementi in k caselle. Questo caso differisce
dal precedente nel fatto che ora una volta che ho messo un elemento in una casella, non posso più
riutilizzarlo. Cioè viene mantenuta l’individualità di ciascun singolo elemento. E’ evidente che in
tal caso deve essere n > k, perché in caso contrario non potrei riempire le k caselle. Contiamo in
questo caso il numero di modi in cui posso disporre gli elementi.
Evidentemente posso mettere n elementi nella prima casella. Quando sono alla seconda ne potrò
mettere solo n-1 perché uno me lo sono già “giocato” alla casella precedente. Alla terza potrò
metterne n-2, e cosi’ via, fino alla k-esima, quando ne potrò mettere n-k+1. Il numero di oggetti
sarà dunque:
n!
n(
n −1)....(
n − k + 1) =
( n − k)!
si noti che anche in questo caso come nel precedente, la sequenza con la quale gli elementi sono
disposti nelle caselle, é rilevante. Cioè se prendo gli stessi elementi e li dispongo in un ordine
diverso, questo costituisce un altro modo che é contato.
Come esempio consideriamo un concorso a cui partecipano 100 persone per 10 posti, e calcoliamo
il numero di graduatorie dei primi 10 classificati che si possono ottenere. In questo caso, n=100,
k=10, ed evidentemente non posso mettere un candidato in 2 diverse posizioni.
Si noti a questo punto la differenza tra i casi (1) e (2). Nel caso (2) gli elementi sono distinguibili,
cioè hanno ciascuno una identità ben definita nel caso (1) no. La distinzione distinguibile –
indistinguibile svolge un ruolo determinante nel passaggio tra Fisica Classica e Fisica Quantistica.
Anzi fu proprio attraverso la comprensione di questo passaggio che furono mossi i primi passi ai
primi del ‘900 nel passaggio alla nuova Fisica.
(3) Permutazioni di n elementi. Si tratta delle disposizioni semplici quando n=k. Si ha un numero
di oggetti pari a
n !
Siamo cioè nel caso in cui il numero di elementi uguaglia il numero di caselle. Ho evidentemente un
solo modo di scegliere quali elementi mettere perché devo prenderli tutti. Tuttavia mi resta la libertà
di definire in quale sequenza metterli nelle caselle. Le permutazioni sono dunque i modi con cui
posso scambiare gli elementi per creare diverse sequenze.
52