x - Fisica - Sapienza

dove [xmin,xmax] costituiscono l’insieme di definizione della variabile casuale x.
Per quanto detto, le densità di probabilità ha le dimensioni di un inverso di x essendo il prodotto
f(x)dx uguale ad una probabilità che é adimensionale.
Le funzioni di distribuzione sia di n che di x possono dipendere da uno o più parametri, i cui valori
determinano le caratteristiche della funzione. La notazione che si usa é p ( n/θ ) o f ( x/θ)
intendendo con θ un insieme di parametri. La notazione adottata fa capire che la dipendenza dal
parametro é una forma di condizionamento della probabilità. Si tratta cioè di dire la funzione di
distribuzione di x quando θ vale un certo valore.
Accanto alla funzione di distribuzione si definisce la funzione cumulativa (o di ripartizione) cosi’
definita:
P ( n / θ ) = ∑
n p(
i / θ )
i=
n1
ovvero
F( x / θ ) = x
∫ f ( x'
/ θ ) dx'
x min
Dalla definizione risulta chiaro il significato delle funzioni cumulative. E’ una funzione
monotonamente crescente che parte da 0 e arriva a 1. La funzione di distribuzione cumulativa
corrispondente alla funzione di distribuzione di Fig.2.3é data in Fig.2.4. Nel caso di variabile
continua, dai teoremi del calcolo differenziale e integrale otteniamo che
dF(
x / θ )
f ( x / θ ) =
dx
cioè la densità di probabilità é la derivata della funzione cumulativa. Come illustrato graficamente
nella Fig.2.4, il calcolo della probabilità che x sia compreso tra a e b, può essere effettuato a mezzo
della distribuzione cumulativa secondo la formula:
P( a < x < b)
= F(
b)
− F(
a)
Fig.2.4 Distribuzione cumulativa della densità di probabilità mostrata in Fig.2.3. Il calcolo della probabilità che x
assuma un valore compreso tra a e b (3 e 5 in questo caso specifico), può essere ottenuta calcolando F(a) ed F(b) e
facendone la differenza. Si noti che la cumulativa tende ad 1 all’estremo dell’intervallo di definizione della
variabile x (0,10 in questo caso).
57