x - Fisica - Sapienza

Cioè le medie fluttuano M volte meno di quanto fluttuano le singole misure. Mi aspetto quindi che
facendo la media di tutte le N misure, questa fluttui N volte meno della singola misura.
Si noti tuttavia che la deviazione standard della singola misura (s per intenderci) non diminuisce al
crescere delle misure ma semplicemente si stabilizza, cioè l’istogramma presenta sempre la stessa
forma, ma le fluttuazioni tendono a diminuire come é ben illustrato dal confronto tra i 2 istogrammi
in alto della Fig.1.9. Viceversa la deviazione standard della media diminuisce come appunto
mostrato nel terzo istogramma di Fig.1.9. La deviazione standard di quest’ultimo istogramma é
proprio
≈
M
volte più piccola di quella fatta usando la singola misura.
Tornando dunque al nostro problema di definire un intervallo per la singola misura (caso (a)) e per
la media delle N misure, potrò procedere nel modo seguente:
caso (a) x ± s
caso (b) x ± s / N
che esprime il fatto che mentre mi aspetto che una successiva N+1-esima misura sia distribuita
secondo la Fig.1.9(2), la media di un altro set di M misure sarà distribuita secondo la Fig.1.9(3).
In definitiva se voglio dare la migliore stima di un intervallo per il valor vero é corretto utilizzare il
caso (b) con il quale uso tutte le informazioni in mio possesso nel modo più efficace.
Concludiamo il paragrafo con un paio di osservazioni.
Osservazione 1: confrontiamo il caso che abbiamo appena visto, con quello di una misura che
non cambia (digitale o analogica che sia). La situazione in cui le misure cambiano sembra
paradossalmente migliore. In effetti é proprio cosi’. Il fatto é che se le misure fluttuano, aumentarle
di numero aiuta perché permette di conoscere sempre meglio la media e di veder diminuire la
deviazione standard come 1 / N . Se invece ottengo sempre lo stesso valore evidentemente non
posso andare aldisotto della mia capacità di interpolare tra le divisioni o al digit più significativo.
Questo apparente paradosso ci insegna che occorre scegliere opportunamente il passo minimo (la
risoluzione) del nostro strumento di misura sulla base delle fluttuazioni della misura stessa.
Osservazione 2: l’uso della deviazione standard della media mi permette di dare un intervallo
per il valor vero. Quale é il significato “probabilistico” di questo intervallo ? Come abbiamo già
visto, la risposta a questa domanda verrà dalla seconda parte del corso. Per ora possiamo dire solo 2
cose: (1) in generale non si tratta di un intervallo “massimo”; (2) il contenuto probabilistico
dell’intervallo dipende da come sono distribuite le misure, cioè dalla forma dell’istogramma e dal
numero di misure effettuate; (3) un intervallo di semilarghezza pari a 3 deviazioni standard
(intervallo di quasi-certezza definito in precedenza) ha un significato probabilistico che in ogni caso
é di quasi certezza.
È interessante stimare il contenuto probabilistico di una deviazione standard direttamente dai dati
(quanti degli N valori sono fuori dall’intervallo x ± s ) per gli istogrammi delle varie figure
mostrate (in particolare Fig.1.7).
(1.3.7) Errori sistematici
Dalle considerazioni fatte in precedenza sorge una domanda: ma allora se aumento N a piacere
mando la larghezza del mio intervallo a 0. E’ vero ?
In linea di principio si. In realtà accade che oltre un certo valore di N aumentare il numero di misure
non serve più. Infatti a un dato punto entrano in gioco altri errori dovuti ad una delle cause che
abbiamo indicato all’inizio della nostra discussione sulle incertezze, e che in generale possono non
dipendere da quante misure facciamo.
Possono dipendere da:
Calibrazione degli strumenti.
Condizioni non sotto controllo.
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