x - Fisica - Sapienza

L’importanza di tale teorema é evidente. In tutti quei casi infatti in cui una misura é caratterizzata
da un certo numero di cause di fluttuazione indipendenti, il valore della misura può essere pensato
come la somma di tali fluttuazioni. Il teorema del limite centrale ci dice che in tal caso il risultato
della misura costituisce una variabile con fluttuazioni di tipo gaussiano, cioè una variabile
gaussiana. La generalità di questo teorema é dovuta al fatto che nel caso degli errori di misura ci si
trova quasi sempre in condizioni di questo tipo, cioè nella situazione in cui cause diverse di errore si
sommano per dare la fluttuazione complessiva. Si noti l’importanza della condizione “varianze tutte
finite e dello stesso ordine di grandezza”. Se infatti tra le cause di fluttuazione ce ne fosse una
preponderante di tipo non gaussiano, allora questa dominerebbe le fluttuazioni della misura che
dunque avrebbe quella forma.
La Fig.2.14 illustra con un esempio simulato il teorema del limite centrale. Inoltre la Fig.2.15
mostra un caso in cui pur sommando tante variabili, se ce n’è una con varianza molto più grande
delle altre, la forma di questa continua a determinare la forma della distribuzione complessiva che
dunque non diventa gaussiana.
Il teorema del limite centrale sancisce l’importanza della distribuzione di Gauss come migliore
approssimazione degli istogrammi dei dati in condizioni di errori casuali.
Fig.2.14 Distribuzione della somma di n=1,2,4,6,8,10 variabili casuali tutte estratte da distribuzioni uniformi tra
0 e 1 (di valore atteso 0.5 e varianza 1/12). A partire dal caso n=4 ad ogni distribuzione é sovrapposta una
distribuzione di Gauss per mostrare il buon accordo. Nel caso n=10 la distribuzione di Gauss “corrispondente” ha
valore atteso 5.0 e deviazione standard 0.91 in accordo con il teorema del limite centrale.
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