x - Fisica - Sapienza

(3.1.3) Il principio di massima verosimiglianza
La formula di Bayes permette di giustificare il cosiddetto principio di massima verosimiglianza.
Infatti se la probabilità a priori di μ è uniforme tra a e b e pari a k=1/(b-a), si ha:
g(
x / μ)
k
m
f ( μ / x ) =
m
b
=
k ∫ dμg(
x / μ)
a
m
g(
x / μ)
m
I
dove con I abbiamo indicato l’integrale che compare a denominatore, che é comunque un numero
indipendente da μ avendo noi integrato in μ. Quindi si ha che la funzione di distribuzione di μ dato
x m é proporzionale alla verosimiglianza.
f ( μ / x ) ∝ g(
x / μ)
m
m
In particolare se la f é una distribuzione simmetrica, cioè tale che la moda e la media coincidono, il
massimo della g rispetto a μ corrisponde al valore più probabile di μ.
Di qui il principio della massima verosimiglianza: la migliore stima di μ è quella per cui é massimo
il valore della funzione di verosimiglianza. La funzione di verosimiglianza (likelihood in inglese) é
data in generale dalla densità di probabilità congiunta dei dati sperimentali, data la popolazione del
misurando. Questo principio (che applicheremo in seguito) fornisce un utile metodo per stabilire
quale é il valore più probabile del misurando μ secondo il nostro campione x m . Il valore più
probabile di μ è dunque quello per cui é massima la verosimiglianza.
(3.2) Inferenza sul valore vero
Passiamo ora ad affrontare i casi che si incontrano nel processo di misura, per arrivare a dare metodi
operativi. In questo paragrafo affrontiamo i casi che abbiamo elencato sotto (a) nel paragrafo
introduttivo di questo capitolo.
Consideriamo dunque i vari casi presentati sopra. Nel seguito usiamo la seguente notazione: xˆ ed
in generale ogni simbolo con il cappuccio indica la stima del valor vero, ovvero la stima dei
parametri della densità di probabilità del misurando. Per il momento assumiamo l’assenza di errori
sistematici che richiedono una trattazione a parte, e dunque nella trattazione che segue,
identificheremo il valor vero x v con μ, valore atteso del misurando. La trattazione é svolta ad un
livello elementare ed intuitivo, ed ha come obiettivo quello di fornire metodi di analisi e non di dare
una trattazione esauriente e generale dell’inferenza. Per una discussione generale della teoria degli
stimatori e dell’inferenza si rimanda ai corsi successivi.
(3.2.1) Caso di una singola misura
Se la mia misura si traduce in un unico numero x M , (il che accade per esempio quando non sono in
condizioni di ripetibilità e non ho alcuna informazione sull’incertezza da attribuire ad x M ), devo
avere informazioni indipendenti. Con un solo numero non si riesce a dare una misura sensata. O
devo poter ripetere la misura o devo sapere qualcosa su come funziona il mio esperimento.
Se invece sappiamo che la distribuzione del misurando μ (la popolazione da cui x M proviene) é
gaussiana con varianza σ 2 , allora l’intervallo cosi’ costruito:
x − σ < ˆ μ < x + σ
M
M
costituisce un intervallo al 68.3% di probabilità per il valore atteso μ del misurando. Infatti in
questo caso la verosimiglianza é:
g
1
2πσ
xM −μ
)
2
2
(
−
2σ
( x M
/ ) = e
μ
e, se la probabilità a priori é uniforme, la densità di probabilità di μ è data da
f ( μ / x ) = g(
x / μ)
M
M
(in cui il fattore di proporzionalità é 1 essendo la gaussiana già normalizzata) e dunque si ha che:
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