x - Fisica - Sapienza

2
∂χ
∂ ⎛ N ( y − mx
i
i
= ⎜ ∑
i=
1
2
∂c
∂c
⎝ σ
i
⎛ N y
N x
N
i
i
− 2⎜ ∑ − m∑ − c∑
⎝
σ
σ
i= 1
2
i= 1
2
i=
1
i
i
− c)
i
2
⎞ N − 2( y − mx
i
i
⎟ = ∑
i=
1
2
⎠ σ
i
− c)
=
1 ⎞
N 1
⎟ = −2( y − mx − c)∑
2
i=
1
2
σ ⎠ σ
da cui ricaviamo, sempre uguagliando a 0 la derivata ed eliminando anche in questo caso i fattori
comuni:
m x + c =
y
Siamo dunque pervenuti ad un sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite, che riscriviamo:
mx
2
+ cx = xy
mx + c =
y
Risolviamo questo sistema con il metodo di Cramer. A questo scopo calcoliamo prima il
determinante d della matrice dei coefficienti:
2
2
d = x
− x
che ha l’ovvio significato di “varianza campionaria della variabile x”, e quindi rappresenta quanto
sono “sparse” le misure di x. Nel seguito lo chiameremo “braccio di leva” e capiremo il significato
molto intuitivo di questa espressione.
Quindi per ricavare m e c abbiamo bisogno degli altri 2 determinanti che chiamiamo dm e dc
rispettivamente:
dm = xy − x y
dc = x
2
y − xxy
e procediamo a scrivere le formule risolutive (secondo il metodo di Cramer):
mˆ
cˆ
Con queste formule abbiamo risolto il problema (b) posto all’inizio del capitolo: dato un insieme di
N “punti sperimentali”, ciascuno dato dalla misura di una grandezza y in corrispondenza di un
valore della grandezza x, nelle ipotesi fatte, le migliori stime dei parametri m e di c che descrivono
il supposto andamento rettilineo di y in funzione di x, sono date dalle formule sopra ricavate.
Operativamente si tratterà quindi di calcolare le medie (pesate con gli inversi delle varianze delle
singole misure) delle x delle y dei prodotti xy e dei quadrati delle x. Dalla combinazione di tale
medie otteniamo le stime di m e di c.
Prima di procedere al calcolo delle varianze di queste stime, facciamo alcune considerazioni sulle
formule ricavate.
Ricordando la definizione di varianza e covarianza campionaria, osserviamo che la stima di m si
puo’ scrivere nella forma:
m ˆ =
xy − x y
=
2
2
x − x
2
x y − x xy
=
2
2
x − x
cov( x,
y)
Var(
x)
dunque m é strettamente legato alla correlazione tra le 2 grandezze. Il caso di non correlazione
corrisponde all’essere m=0 (è il caso visualizzabile come la “palla” secondo la discussione della
correlazione che abbiamo fatto). Inoltre il segno di m é legato al segno della covarianza tra y e x
(essendo la varianza di x definita positiva). Come abbiamo visto negli esempi dati per la
i
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