x - Fisica - Sapienza

N
∑(
x − x)
i
i
s = = 1 N
cioè la media degli scarti, ho una variabile identicamente nulla. Infatti si ha:
1
= ∑ N
xi
Nx
i= s − = x − x = 0
N N
per definizione. In effetti ciò significa che la media aritmetica é proprio quel valore di x rispetto al
quale é nulla la media degli scarti. Una definizione più appropriata di dispersione si ottiene
considerando la media degli scarti al quadrato
s
N
∑(
x
− x)
2
2
i
i=
= 1
N
e poi prendendone la radice quadrata (per avere anche una grandezza omogenea dimensionalmente
a x):
s
i=
1
=
N
∑(
x
i
− x)
N
2
Si tratta di una grandezza sempre positiva che prende il nome di deviazione standard campionaria o
anche semplicemente deviazione standard. Il suo quadrato é detto varianza campionaria o
semplicemente varianza. Il suo significato é chiaramente intuitivo (quanto scarto in media dalla
media). Rispetto alla stima dell’intervallo massimo, ha il vantaggio di usare tutti i dati e di essere
meno sensibile ad eventuali fluttuazioni anomale. Nel seguito del corso vedremo più
approfonditamente il suo significato. Per ora essa é una stima della “dispersione delle misure”.
Si noti che in base alla definizione appena fatta, c’è un secondo modo di calcolare la deviazione
standard campionaria. Infatti essa può essere espressa come (consideriamo prima la varianza
campionaria):
s
2
N
∑(
xi
i=
1
=
2
− 2x
x + x
N
i
2
)
N
∑ xi
i=
1
=
N
2
N
x∑
xi
i=
1
− 2
N
+ x
2
=
x
2
− x
cioè come la differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media. Si noti che tale
differenza non é 0 in generale ma é per definizione una quantità positiva. Cosi’ definita, la
deviazione standard può essere valutata senza aver prima valutato la media aritmetica. Dal punto di
visto del calcolo, significa che anziché fare 2 “loops” sulle misure, é sufficiente farne 1.
Se definisco un intervallo centrato nella media e di semilarghezza pari alla deviazione standard,
questo intervallo non é un intervallo massimo. Rappresenta solo una parte della larghezza. Non
sono certo che la misura cada là dentro. Tuttavia é una misura proporzionale alla larghezza. Fig.1.7
mostra per alcuni istogrammi, l’intervallo centrato sulla media delle misure e avente la deviazione
standard come semilarghezza. Si può osservare (si tratta di una osservazione su base puramente
empirica per la quale troveremo una giustificazione nel seguito del corso) che costruendo intervalli
di semilarghezza pari a 3 volte la deviazione standard, si ottengono intervalli all’interno dei quali
praticamente tutti i valori sono contenuti. Nel seguito chiameremo tali intervalli, intervalli di quasicertezza.
Nel seguito vedremo anche che la deviazione standard come l’abbiamo definita deve essere corretta
per tenere conto del fatto che nel considerare gli scarti tra ciascuna misura e la media aritmetica, in
realtà sto usando 2 volte ciascuna misura: infatti ciascuna misura compare sia nella media, che
come singola misura. Questo fatto si traduce nella seguente definizione:
2
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