Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 9
con s qualunque purché abbia le dimensioni dell’inverso di una lunghezza.
Poiché
Z
Z 1 = |ψ(x)| 2 dx =
¯¯¯b ¯
Tn ψ(x) ¯2 dx = (29)
Z
= |λ(n)| 2 |ψ(x)| 2 dx
cioè
risulta necessariamente
con k reale. Quindi
|λ(n)| 2 =1=|e sna | 2 (30)
s = ik (31)
bT n ψ(x) =ψ(x+T n )=ψ(x+na) =e ikna ψ(x) (32)
Questa proprietà è soddisfatta da ogni ψ k (x) (funzione d’onda di Bloch)
con
ψ k (x) =u k (x)e ikx (33)
u k (x+T n )=u k (x+na) =u k (x) (34)
funzione periodica di x. In questo modo ad ogni autofunzione di b H (ψ k (x)
stato stazionario di un elettrone nel potenziale periodico)
bHψ k (x) =E k ψ k (x) (35)
è associato un vettore d’onda k talechevalgal’eq. 32e,quindi,leeqq. (33)e
(34).I livelli energetici dell’elettrone E k dipendono con continuità dal vettore
d’onda k. In3D
ψ(r + T l )=e ik·T l
ψ k (r) (36)
e
con
ψ k (r) =u k (r)e ik·r (37)
u k (r + T l )=u k (r) (38)
Se applichiamo l’operatore quantità di moto bp = −i~∇ a un’onda di
Bloch otteniamo, diversamente da quanto si ottiene per un’onda piana,
bpψ k (r) 6= ~kψ k (r) (39)