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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 59 11.3 Catena lineare due atomi per cella: modi acustici e modi ottici Consideriamo un cristallo 1D con passo reticolare a e una base di due nuclei m 1 e m 2 (m 1 >m 2 ) posti, rispettivamente, nelle posizioni ufficiali µ 1 x = na n µ µ 2 x = n + 1 a n 2 con interazioni solo tra nuclei primi vicini. In generale la posizione del secondo atomo potrebbe non coincidere con il centro della cella. Abbiamo fatto questa scelta solo per poter utilizzare un’unica costante di forza interatomica κ. Considerando l’interazione dei nuclei all’interno della cella n =0econ i nuclei delle due celle adiacenti n = ±1, constatiamo che esistono solo 6 costanti di forza non nulle che determinano la dinamica dei due nuclei della cella n =0(omettiamo i pedici 11) µ µ µ 11 12 21 Φ = 2κ; Φ = −κ; Φ = −κ; 0 0 0 µ µ µ 22 21 12 Φ = 2κ; Φ = −κ; Φ = −κ 0 1 −1 µ 0 pp a cui corrisponde la matrice dinamica D q Ã 2κ m 1 − κ − √ κ m1 m 2 (1 + e +iqa ) : √ m1 m 2 (1 + e −iqa ) ! 2κ m 2 Gli autovalori di questa matrice sono le radici dell’equazione (condizione di solubilità del sistema (251)) : µ µ 2κ 2κ ³ − ω 2 − ω 2 − 4κ2 qa ´ cos 2 =0 m 1 m 2 m 1 m 2 2 cioè: ω 2 1,2(q) = κ µ ∓ κ µ r 1 − 4 ³ µ ´ ³ qa ´ sin 2 M 2 dove µ = m 1m 2 M e M = m 1 + m 2
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 60 sono, rispettivamente, la massa ridotta elamassa totale (massa del centro di massa) della base. Per q → 0, si ottiene asintoticamente ω 1 ω 2 ≈ ≈ r κ 2M a|q| r 2κ µ1 − µa2 q 2 µ 8M (261) mentre a bordo zona q = ±π/a ω 1 = ω 2 = r 2κ m 1 r 2κ m 2 (262) Risulta quindi che la prima branca è di natura acustica mentre la seconda di natura ottica. Inoltre esiste un intervallo (gap) di frequenze proibite tra ω 1 (π/a) e ω 2 (π/a). Non sono inoltre possibili frequenze maggiori di ω 2 (0) = p 2κ/µ. 2.5 1.5 y 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 -2.5 -1.25 0 1.25 Relazioni di dispersione della catena lineare biatomica (y=ω p µ κ ) In figura sono mostrate le relazioni di dispersione nella prima zona di Brillouin (π
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