Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 49
a molti corpi sono dunque gli spostamenti u l e le posizioni istantanee r i di
tutti gli elettroni di valenza. L’Hamiltoniano del cristallo è allora
bH = bT e + bT n + V ee (r)+V en (r, u)+V nn (u) (210)
dove r è l’insieme delle coordinate elettroniche e u è l’insieme delle coordinate
degli ioni.
bT e = − ~2 X
∇ 2 r
2m
i
(211)
è l’operatore energia cinetica totale degli elettroni
bT n = − ~2
2M
è l’operatore energia cinetica totale degli ioni
V ee (r) = 1 X e 2
2 4π 0 |r i − r j |
ij6=i
i
X
∇ 2 u l
(212)
è l’energia potenziale coulombiana repulsiva delle interazioni tra elettroni
V en (r, u) =− X i
X
l
l
Ze 2
4π 0 |r i − l − u l |
(213)
(214)
è l’energia potenziale coulombiana attrattiva elettrone-ione
V nn (u) = 1 X Z 2 e 2
2 4π 0 |l + u l − h − u h |
lh6=l
(215)
è l’energia potenziale coulombiana repulsiva delle interazioni tra ioni. La
massa di un elettrone è molto minore della massa di uno ione (già nel caso del
protone m p =1836m e ). In prima approssimazione possiamo allora supporre
che la funzione d’onda degli elettroni ψ n (r|u) dipenda solo parametricamente
da u e sia autofunzione dell’Hamiltoniano ridotto
bH 0 = bT e + V ee (r)+V en (r, u) (216)
bH 0 ψ α (r|u) =E (e)
α (u)ψ α (r|u) (217)
I livelli dell’energia elettronica E (e)
α (u) dipendono parametricamente dalla
configurazione istantanea degli ioni l + u. Lafunzioned’undaψ n (r|u) èuna
funzione a molti elettroni. Tuttavia il problema (217) può essere risolto con