Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 26
obbedisce allora all’eq. di Schroedinger
µ− ~2
2m ∗ ∇2 −
e2
4πr
Gli autovalori dell’energia sono allora i livelli idrogenoidi
ψ = Eψ (123)
E = E n = − m∗ e 4
(124)
8 2 h 2 n 2
Si tratta di energie appena al di sotto della banda di conduzione. Infatti
se m ∗ = m/10 e =10 0 , l’energia di ionizzazione E 1 ≈ 10 −3 rydberg
(1 rydberg = me4 ≈ 13.6 eV). Il fatto che il raggio di Bohr equivalente
8 2 0 h2
a ∗ =
h2 sia di un fattore m/ (m ∗
πm ∗ e 2
0 )=100più grande di quello dell’atomo
di idrogeno (a = 0h 2
=0.053 nm), giustifica l’uso del terema della massa
πme 2
efficace (il raggio è molto maggiore del passo reticolare).
8.3 Dinamica semiclassica
Se U F (r) dipende molto debolmente dalla posizione, la lunghezza d’onda
di De Broglie media λ =2π/k degli elettroni, concepiti come pacchetti di
onde di Bloch, può essere tale da non dare luogo ad apprezzabile diffrazione
dell’onda elettronica. In questo caso l’Hamiltoniano equivalente governa un
moto semiclassico e non è necessario risovere l’eq. (114). Si può allora
smontare la (prima) quantizzazione ed ottenere una funzione di Hamilton
classica equivalente. Partendo dalla funzione di Hamilton classica originaria
H cl = |p|2
2m + U(r)+U F (r) (125)
usando le regole di quantizzazione di Jordan
abbiamo ottenuto l’operatore Hamiltoniano
r→ r (126)
p→ − i~∇ (127)
bH = − ~2
2m ∇2 + U(r)+U F (r) (128)
Applicando il teorema di Wannier alla struttura di banda
E = E(k) (129)