Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 55
delle componenti indipendenti del tensore Φ =[Φ jj
0] dipende dalla simmetria
di punto del cristallo. Se il tensore Π =[Π jj
0 ] rappresenta un’operazione
di simmetria del gruppo di punto del cristallo (per esempio, una rotazione di
ordine n attorno ad un asse passante per il punto fisso) allora (per la legge
di trasformazione dei tensori rispetto al cambiamento di coordinate prodotto
da Π: r 0 = Π : r) deverisultare
Φ 0 = ΠΦΠ −1 = Φ (243)
dove Π −1 è la matrice inversa di Π (Π èunamatriceunitaria: det Π = 1, da
cui Π T = Π −1 ). Applicando una relazione di questo tipo per ciascuna delle
operazioni del gruppo, si ottengono i vincoli che determinano le componenti
indipendenti di Φ. Grazie alla simmetria traslazionale del cristallo possiamo
scrivere n 0 = n + h, doveh ≡ T h è una traslazione reticolare (analogamente,
in questo paragrafo denotiamo con n anche il vettore posizione R n oltre che
la cella relativa). Deve risultare
Φ
µ 0
µ
0
p p p p
= Φ
n n 0 n n+ h
µ
0
pp
= Φ
h
(244)
Cioè Φ dipende solo dalla differenza n 0 − n = h. Le equazioni dinamiche si
scrivono allora come
µ p
m p ü = − X 1,s
X
µ
0
µ
0
pp p
Φ : u
(245)
n
h n + h
h
p 0
Dove la somma su h è estesa a tutte le N traslazioni reticolari che congiungono
la cella n con le altre celle (compresa h = 0). Applicando, come nel
caso degli elettroni, le condizioni periodiche al contorno, cioè imponendo che
µ
µ
p
p
u
= u
(246)
n +(N j − 1)a j n
( j =1, 2, 3; N = N 1 N 2 N 3 numero totale di celle) le equazioni dinamiche
(245) mantengono una completa invarianza traslazionale pur riferendosi ad
un numero finito di nuclei. Allora le soluzioni (onde reticolari) devonosoddisfare
al teorema di Bloch (in forma discreta: ), cioè
µ µ
p p
u = u e
n 0
iq·n (247)
Per ogni onda reticolare esiste quindi almeno un vettore d’onda q tale da verificare
l’equazione precedente. Come nel caso elettronico (vettori k), l’insieme