Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 66
ha le due radici
⎛ ⎞
µ 2
q ± (ω) =± arcsin ⎝
a
1 ω
q ⎠ (298)
2 1
κ m
che definiscono il segmento di lunghezza
⎛ ⎞
µ 4
L(ω) =2q + (ω) = arcsin ⎝
a
1 ω
q ⎠ (299)
2 1
κ m
si ha allora
⎛
N(ω) = L(ω) ¢ = 2N π arcsin ⎝ 1 ω
q
2
¡ 2π
Na
a cui corrisponde la densità 1D
⎡ ⎛
g(ω) = d ⎣ 2N
dω π arcsin ⎝ 1 2
ω
q
⎤
⎞
⎠
1
κ m
⎦ = 1 q
π
⎞
1
κ m
⎠ (300)
N
1
m κ q1 − 1 4
(301)
m
κ ω2
Come si vede, in una dimensione la densità dei modi diverge in corrispondenza
della frequenza massima 2 p κ/m (dove la velocità di gruppo ∂ω/∂q è
nulla) mentre è pressoché costante per piccoli vettori d’onda dove la velocità
di gruppo è costante e coincidente con la velocità del suono. Peter Debye ha
elaborato un modello approssimato per il calcolo di g(ω) per un cristallo tridimensionale
basato sull’ipotesi di soli modi acustici che vengono considerati
non dispersivi sino ad una frequenza massima, detta frequenza di Debye ω D .
E’ questo il caso di un corpo elastico continuo e isotropo. In questo caso
un processo di deformazione può essere, in generale, espresso dalla sovrapposizione
di una dilatazione (compressione) semplice e di una deformazione
di taglio semplice. Ciò corrisponde ad un campo di spostamenti u
con
u = u l + u t (302)
∇ × u l = 0 (303)
∇ · u t = 0 (304)
Gli spostamenti u l e u t obbediscono a wave equations disaccoppiate:
∂ 2 u l
∂t 2 = vl 2 ∇ 2 u l (305)
∂ 2 u t
∂t 2 = vt 2 ∇ 2 u t (306)