Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 37
e scriviamola come
|k s − g hkl | 2 = |k i | 2 (181)
cioè
|k s | 2 − 2k s · g hkl + |g hkl | 2 = |k i | 2 (182)
Nel caso di scattering elastico e introducendo l’angolo di Bragg ϑ hkl come
l’angolo complementare dell’angolo tra k s e g hkl , si ottiene
|g hkl | − 2 |k s | sin ϑ hkl =0 (183)
Questa legge dice che si ha scattering quando la proiezione del vettore d’onda
della particella sul vettore g hkl èpariametàdelmodulodig hkl (vedi oltre
Umklapp). Poiché d hkl =2πn/ |g hkl | e λ =2π/ |k s | èlalunghezzad’ondadi
de Broglie delle particelle incidenti, si ottiene finalmente
2d hkl sin ϑ hkl = nλ (184)
la ben nota legge di Bragg (formula che dà la posizione angolare dei picchi
di Bragg, essendo l’angolo di Bragg pari alla metà dell’angolo di scattering:
vedi costruzione geometrica). Per ricavare la (179) abbiamo fatto uso del
risultato: Z
e i(g hkl−Q)·r 0 dr 0 =(2π) 3 δ(g hkl − Q) (185)
che si ottiene facilmente in una dimensione
considerando che
Z +∞
−∞
e ikx dx =2πδ(k) (186)
1
2π
Z +∞
−∞
Z +L
e ikx 1
dx = lim e ikx dx =
L→∞ 2π −L
sin(kL)
= lim = δ(k) (187)
L→∞ πk
La forma sin(kL) è comunque utile per descrivere l’interazione con piccoli
πk
cristalli ed è la base per la determinazione sperimentale delle dimensioni
di un dominio cristallino analizzando la forma dei picchi di diffrazione. Se
una famiglia di piani reticolari {hkl} soddisfa la legge di Bragg g hkl −Q = 0,
l’intensità del massimo (l’area del picco) è proporzionale al modulo quadrato
di U hkl e dipende dalla distribuzione della materia (dei centri di scattering)
nella singola cella unitaria, cioè dalla base contenente s atomi. Nel caso
dello scattering di neutroni le forze d’interazione siano a piccolissimo raggio