Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 16
E(k) perturbati l’espressione:
E(k) ≈ ~2 |k| 2
2m + < k|U(r)|k > + X k / 6=k
¯
¯< k|U(r)|k 0 >
~ 2
2m
¯
¯2
(74)
³|k| 2 − |k 0 |
2´
Gli stati imperturbati |k > sono le onde piane del reticolo vuoto (vedi sopra).
Esaminiamo gli elementi di matrice
Z
< k|U(r)|k 0 1
>= √ e −ik·r U(r) √ 1 e ik0·r dr = (75)
cristallo V V
= 1 Z
e −i(k−k0 )·r U(r)dr
V
cristallo
L’energia potenziale U(r) può essere sviluppata in serie di Fourier
U(r) = X g
U g e ig·r (76)
dove i g sono i vettori (nodi) del reticolo reciproco e i coefficienti di Fourier
U g sono espressi come:
Di qui risulta:
< k|U(r)|k 0 >= 1 V
= 1 X
Z
U g
V
g
U g = 1 U(r)e
V cella
Zcella
−ig·r dr (77)
cristallo
Z
cristallo
X
U g e ig·r e −i(k−k0 )·r dr = (78)
g
e i(g−k+k0 )·r dr =U g δ k 0 ,k−g
Nel ricavare la (78) abbiamo utilizzato le condizioni periodiche al contorno
che discretizzano l’insieme dei vettori d’onda (49). Per una trattazione simile,
che considera invece un continuo di vettori d’onda, si veda oltre in Teoria dello
scattering. Gli elementi di matrice sono dunque nulli a meno che k 0 = k − g.
Osservando che gli elementi diagonali < k|U(r)|k > rappresentano il valore
medio dell’energia potenziale, poniamo tale valore uguale a zero e riscriviamo
l’espressione per i livelli energetici perturbati come
E(k) ≈ ~2 |k| 2
2m + X g6=0
~ 2
2m
|U g | 2
¡
|k| 2 − |k − g|
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