Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 62
In figura sono mostrate le relazioni di dispersione nella prima zona di Brillouin
(π > a e l’onda reticolare sente il cristallo come un mezzo
elastico continuo. Infatti le equazioni dinamiche possono essere riscritte come
³ m
a 3 ´
ü n = κ a
µ
−2un + u n−1 + u n+1
a 2
che, per grandi lunghezze d’onda, può essere scritta come
ρ ∂2 u
∂t 2
(271)
= E
∂2 u
∂x 2 (272)
dove si sono introdotti ρ = m/a 3 (densità di massa), E = κ/a (modulo di
Young) e u(x, t) (campo di spostamenti elastici). Quest’ultima equazione
ammette come soluzioni onde elastiche viaggianti
u(x, t) =Qe i(qx−ωt) (273)
con la velocità del suono
e relazione di dispersione lineare
v s = ω/q =
s
E
ρ
(274)
ω(q) =v s |q| (275)
Nel caso discreto (atomico), confrontando il limite della relazione di dispersione
per q → 0, sivedeche
v s =
r κ
m a (276)
In altre parole i modi acustici di grande lunghezza d’onda del cristallo si identificano
con le onde elastiche del medesimo pensato come un mezzo continuo
(vedi oltre, modello di Debye).