Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 108
14.2.2 Livelli degeneri
L’uso delle formule (510) e n(507) opresuppone che non esistano livelli degeneri
nello spettro imperturbato E n
(o) . Infatti se a un dato livello E m
(o) corrispondono
più autofunzioni |m, ji ci saranno nelle serie dei termini divergenti del
tipo
hm, k|cW |m, ji
(514)
E m
(o) − E m
(o)
Si può aggirare questa difficoltà nel modo seguente. Supponiamo che al livello
E (o) corrispondano le 2 autofunzioni imperturbate ϕ 1 = |1i e ϕ 2 = |2i. In
prima approssimazione scriviamo la funzione d’onda perturbata come
ψ = aϕ 1 + bϕ 2 (515)
e inseriamo la ψ nell’equazione per gli stati stazionari perturbati
³
b H o + cW
´
(aϕ 1 + bϕ 2 )= ¡ E (o) + ∆E ¢ (aϕ 1 + bϕ 2 ) (516)
sfruttando la condizione di ortonormalità delle ϕ 1 e ϕ 2 si ottiene il sistema
algebrico
Ã
! µ µ
h1|cW |1i − ∆E h1|cW |2i a 0
=
(517)
h2|cW |1i h2|cW |2i − ∆E b 0
lineare omogeneo. La condizione di solubilità è (tenendo conto che h2| W c |1i =
h1|cW |2i ∗ ):
³
´³
´
h1|cW |1i − ∆E h2|cW |2i − ∆E −
¯¯¯h1| 2 ¯ cW |2i¯2 =0 (518)
le due radici sono
"
#
∆E ± 1
³
´
= h1|cW |1i + h2|cW |2i ± 1 ³ ¯
h1|cW |1i − h2|cW |2i´2
+4¯¯¯h1| cW |2i¯2
2
2r
(519)
Quando gli elementi di matrice diagonali sono nulli, si ha semplicemente :
∆E ± ¯
= ± ¯h1|cW |2i¯ (520)
Il livello degenere imperturbato E (o) si separa (splitting) nei due livelli non
degeneri perturbati
E ± = E (o) ¯
± ¯h1|cW |2i¯ (521)