Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 63
11.5 Fononi
Facendo riferimento alla situazione del caso precedente, rappresentiamo la
soluzione più generale delle equazioni dinamiche come
u n (t) = X
q∈BZ
Q(q)
√
Nm
e iqna e −iω(q)t (277)
Tenendo conto esplicitamente della discretizzazione indotta dalle condizioni
periodiche al contorno
u N−1 = u 0 (278)
possiamo scrivere:
u n (t) =
− N 2
X
+1, N 2
l
Q l
√
Nm
e −iω lt e i2π ( nl
N ) (279)
Definiamo le:
ξ l =
Q l
√
Nm
e −iω lt
(280)
coordinate normali e
r µ κ ω l =2 ¯ πl
m ¯sin N
¯¯¯¯ (281)
Scriviamo la Lagrangiana vibrazionale come
L v = 1 2
el’Hamiltoniana come
H v = 1 2
0,N−1
X
n
0,N−1
X
n
m ˙u 2 n − 1 2
0,N−1
X
n
p 2 n
2m + 1 0,N−1
X
2
n
k(u n+1 − u n ) 2 (282)
k(u n+1 − u n ) 2 (283)
con
p n = ∂Lv = m ˙u n (284)
∂ ˙u n
Sostituendo le 279 nella Lagrangiana e nell’Hamiltoniana si ottiene infine
L v = 1 2
− N 2
X
+1, N 2
l
½¯¯¯˙ξl¯¯¯2
− ω
2
l |ξ l | 2 ¾
(285)