Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 19
Nell’approssimazione della massa efficace m ∗ (vedi oltre) si avrebbe in questo
caso α = ~ 2 /2m ∗ . Considerazioni analoghe si applicano alle relazioni di
dispersione dei fononi (vedi oltre) per ottenere le relative densità di stati in
funzione della frequenza.
7 Bande di elettroni fortemente legati
7.1 Metodo del legame forte
Mentre nelle regioni interstiziali le funzioni d’onda di Bloch differiscono di
poco da onde piane, in corrispondenza degli ioni reticolari esse assomigliano di
più ad orbitali atomici localizzati. In altre parole, nelle immediate vicinanze
di uno ione reticolare nella posizione n il potenziale periodico differisce di
poco dal potenziale atomico prodotto da un unico ione nella stessa posizione
U n (r − n). Per descrivere le bande elettroniche di cristalli in cui gli elettroni
di valenza risentono più fortemente del potenziale periodico, tentiamo
di costruire il generico stato di Bloch come un’opportuna somma reticolare
utilizzando un orbitale atomico φ a (r − n) centrato nel punto reticolare n (a
è l’insieme dei numeri quantici che definiscono uno degli stati stazionari possibili
di un elettrone nel campo medio di forze centrali di un singolo atomo).
φ a soddisfa dunque l’equazione
¸
∙− ~2
2m ∇2 +U n (r) φ a (r)=E a φ a (r) (93)
La funzione d’onda di Bloch per l’intero cristallo può allora essere scritta
come:
ψ a k(r) = √ 1 X
e ik·n φ a (r − n) (94)
N
Moltiplichiamo il secondo membro per e ik·l e −ik·l e calcoliamo ψ a k(r + l)
ψ a k(r + l) = e ik·l 1 X
√ e ik·(n−l) φ a (r − (n − l)) =
N
n
n
= e ik·l 1 X
√ e ik·h φ a (r − h) =e ik·l ψ a k(r)
N
h
Essendo l e n − l = h traslazioni reticolari, abbiamo verificato che la (94)
soddisfa al teorema di Bloch. La funzione (94) soddisfa approssimativamente
alla condizione di normalizzazione, infatti:
Z
ψ a∗
k (r)ψ a k(r)dr = 1+ X X
Z
e ik·(n0 −n)
φ ∗ a(r − n)φ a (r − n 0 )dr ≈1 (95)
n
n 0 6=n