Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 57 Le ω α = ω α (q) sono dette relazionididispersione. Considerando i moti vibrazionali degli s nuclei di una cella primitiva abbiamo a che fare con 3s gradidiliberta. Tra questi 3 appartengono al centro di massa della base e si parla di branche acustiche, mentre3s − 3 appartengono a moti interni della base e si parla di branche ottiche. Laterminologiaacustiche deriva dal fatto che, per q → 0, imodi acustici (se eccitati coerentemente) coincidono con le onde elastiche macroscopiche caratterizzate da ω α (q) =v α (q/|q|)q, dovela quantità v α (q/|q|), che dipende solo dalla direzione di propagazione q/|q|, èlavelocità del suono e α può corrispondere ad un’onda quasi-longitudinale (α 1 = L) o a due diverse onde quasi-trasverse (α 2 = T 1 , α 3 = T 2 ). Le tre velocità del suono sono, in generale, diverse. Quasi indica che la polarizzazione di queste onde è prevalentemente longitudinale o prevalentemente trasversa. Lungo particolari direzioni di simmetria in alcuni cristalli (per esempio i cubici) le onde sono completamente longitudinali o completamente trasverse. La terminologia ottiche deriva dal fatto che i modi corrispondenti possono possedere un momentodidipoloelettricofluttuante edeterminare l’assorbimento ottico del cristallo nell’infrarosso oppure avere associata una fluttuazione di polarizzabilità elettrica e determinare lo scattering Raman vibrazionale di fotoni (nell’infrarosso, nel visibile e nell’ultravioletto) da parte del cristallo. Se un cristallo è semplicemente costituito da un reticolo di Bravais e da una base di un solo atomo per cella primitiva in esso esistono solo modi acustici. Nel silicio (cubico a facce centrate con 2 atomi per cella primitiva: struttura del diamante) esistono, oltre alle 3 branche acustiche, 3×2−3 =3branche ottiche: una longitudinale e due trasverse. La soluzione più generale delle equazioni ridotte (245) èquindilacombinazione lineare: µ p u n = 1 p Nmp X q∈BZ 1,3s X Q(q,α)e (p, q,α) e iq·n e −iω α(q)t Introducendo queste soluzioni nell’Hamiltoniana vibrazionale H v = X n 1,s X p α ∂L µ v p ∂ ˙u n µ p ˙u n (254) − L v (255) si ottiene finalmente (utilizzando le proprietà dei versori di polarizzazione) il risultato fondamentale dell’approssimazione armonica: H v = 1 2 X q∈BZ 1,3s X © |P (q,α)| 2 + ω 2 α(q) |ξ(q,α)| 2ª (256) α
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 58 dove i P (q,α)= ∂L v ∂ ˙ξ(q,α) (257) sono i momenti cinetici coniugati alle coordinate normali ξ(q,α). Si è quindi dimostrato che il comportamento vibrazionale del cristallo è equivalente a quello di un insieme di 3sN oscillatori armonici indipendenti di frequenze ω 2 α(q), uno per ogni modo normale (q,α). Mentreilmoto di un singolo nucleo non è armonico, sono armonici i moti collettivi ξ(q,α). Per questa ragione le ξ(q,α) vengono anche dette coordinate collettive ei quanti di energia ad esse associati quasi-particelle perchè non sono associati a particelle individuali (localizzabili entro i limiti del principio di indeterminazione). L’introduzione delle coordinate normali ha quindi disaccoppiato il sistema delle equazioni dinamiche che descrivono il moto dei nuclei e ha generato 3sN equazioni elementari indipendenti: ¨ξ(q,α)+ω 2 α (q)ξ(q,α)=0 (258) ricavabili elementarmente da H v mediante le equazionidiHamilton: ∂H v ∂P(q,α) − ∂H v ∂ξ(q,α) = ˙ξ(q,α) (259) = ˙ P (q,α) (260)
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