Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

More documents

Recommendations

Info

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 51 è il gradiente rispetto agli spostamenti ionici del numero totale di elettroni. Glielementidiagonalidellamatrice −~ 2 Z ψ ∗ 2M α(r|u)∇ 2 uψ β (r|u)dr (225) sono un multiplo m/M dell’energia cinetica totale degli elettroni e sono quindi trascurabili. Infatti, nel caso di più forte interazione elettrone-ione (cioè il caso peggiore), possiamo scrivere ψ α (r|u) =ψ α (r − u). Ne risulta quindi: Z ψ ∗ α(r − u) −~2 2M ∇2 uψ α (r − u)dr = m Z M ψ ∗ α(r − u) −~2 2m ∇2 rψ α (r − u)dr (226) In generale invece gli elementi fuori diagonale non sono nulli e possono provocaretransizionitrastatielettroniciquandogliionisimuovono(interazione elettrone-fonone). 11 Dinamica reticolare 11.1 Calore specifico reticolare: modello di Einstein Per i solidi isolanti vale (ad alta temperatura) la legge di Dulong e Petit che afferma che il calore specifico molare c V è costante e vale 3R. R = N A K B ' 8.31 Jmole −1 K −1 è la costante dei gas perfetti, N A è il numero di Avogadro e K B la costante di Boltzmann. Sperimentalmente risulta (contrariamente alle previsioni della meccanica statistica classica: principio di equipartizione dell’energia) che c V tende ad annullarsi a bassa temperatura. Una prima spiegazione quantistica di quest’ultimo fatto fu data da Einstein sulla base di un modello sovrasemplificato dei moti vibrazionali dei nuclei degli atomi dei cristalli. Einstein assume che ogni nucleo oscilli armonicamente attorno alla sua posizione ufficiale di equilibrio con una frequenza ω E uguale per tutti i nuclei. Alla luce della moderna dinamica reticolare quantistica si tratta di un’ipotesi accettabile solo ad alta temperatura, quando i singoli moti nucleari si possono ritenere indipendenti (scorrelati). Tuttavia il modello di Einstein spiega qualitativamente la dipendenza di c V dalla temperatura T anche per T → 0. Il ragionamento è il seguente. Ogni nucleo è trattato come un oscillatore quantistico di frequenza ω E . Lo spettro dei livelli energetici di tale oscillatore è µ E n = n + 1 ~ω E (227) 2
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 52 Trascurando l’energia di punto zero si ottiene, con un calcolo abbastanza semplice, che l’energia media di un oscillatore vale = ~ω E ~ ω E =< n>~ω E (228) K e B T − 1 prodotto dell’energia di un singolo quanto vibrazionale ~ω E edelnumero medio di popolazione dell’oscillatore (distribuzione di Bose-Einstein): = 1 ~ ω E K e BT − 1 A questo punto l’energia interna del cristallo (una mole) vale (229) U =3N A (230) c V risulta allora pari a c V = µ ∂U ∂T V ~ ω E K B T = 3N A (~ω E ) 2 e K B T 2 µ ~ ω E 2 (231) K e BT − 1 che mostra il voluto andamento lim V (T ) T →0 = 0 (232) lim V (T ) T →∞ = 3R (233) Con un ginocchio attorno alla temperatura di Einstein T E = ~ω E /K B . Esaminando più attentamente i dati calorimetrici sperimentali si nota però che c V tende a 0 più lentamente di quanto previsto dal decadimento esponenziale del modello di Einstein quando T
Page 1 and 2: Appuntidellelezionidi Fisica dello
Page 3 and 4: c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di
Page 51: c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di
Page 103 and 104:
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
show all

Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?