Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 59
11.3 Catena lineare due atomi per cella: modi acustici
e modi ottici
Consideriamo un cristallo 1D con passo reticolare a e una base di due nuclei
m 1 e m 2 (m 1 >m 2 ) posti, rispettivamente, nelle posizioni ufficiali
µ 1
x = na
n
µ µ 2
x = n + 1
a
n
2
con interazioni solo tra nuclei primi vicini. In generale la posizione del secondo
atomo potrebbe non coincidere con il centro della cella. Abbiamo fatto
questa scelta solo per poter utilizzare un’unica costante di forza interatomica
κ. Considerando l’interazione dei nuclei all’interno della cella n =0econ
i nuclei delle due celle adiacenti n = ±1, constatiamo che esistono solo 6
costanti di forza non nulle che determinano la dinamica dei due nuclei della
cella n =0(omettiamo i pedici 11)
µ µ µ
11 12 21
Φ = 2κ; Φ = −κ; Φ = −κ;
0
0
0
µ µ µ
22 21 12
Φ = 2κ; Φ = −κ; Φ = −κ
0
1
−1
µ
0
pp
a cui corrisponde la matrice dinamica D
q
Ã
2κ
m 1
− κ
− √ κ
m1 m 2
(1 + e +iqa )
:
√
m1 m 2
(1 + e −iqa )
!
2κ
m 2
Gli autovalori di questa matrice sono le radici dell’equazione (condizione di
solubilità del sistema (251)) :
µ µ
2κ 2κ
³
− ω 2 − ω 2 −
4κ2 qa
´
cos 2 =0
m 1 m 2 m 1 m 2 2
cioè:
ω 2 1,2(q) = κ µ ∓ κ µ
r
1 − 4
³ µ
´ ³ qa
´
sin 2
M 2
dove
µ = m 1m 2
M e M = m 1 + m 2