Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 47
cristallo. Un processo Umklapp può essere pensato come la creazione (o
distruzione) di un fonone associata ad una riflessione di Bragg. Passando
ad una descrizione quantistica delle vibrazioni reticolari, il valor medio (media
termica) di hW 2 (q)i T
dipenderà dalla popolazione del modo vibrazionale
di vettore d’onda q, descritta dalla statistica di Bose-Einstein. In realtà,
se tenessimo conto nell’espansione (206) dei termini quadratici, si avrebbe
che nell’espressione dell’intensità sia il termine elastico sia quello anelastico
dovrebbero essere moltiplicati per un fattore
Y
(1 − |Q · u 0 (q)| 2 )=e − P q |Q·u 0(q)| 2 = e −2W
q
dove e −2W è il cosiddetto fattore di Debye-Waller, con
W = 1 X
|Q · u 0 (q)| 2 = 1 X
|Q · e(q)| 2 W 2 (q) =
2
2
= 1 2
q
X
q
|Q · e(q)| 2 Q 2 (q)
Nm
Nell’ultima espressione si è espressa l’ampiezza della coordinata normale
Q(q)/ √ Nm secondo la notazione usata per la descrizione delle vibrazioni
reticolari (Q(q) non va confuso con il modulo di Q = k s − k i , vettore d’onda
scambiato (o di scattering). L’intensità dei picchi di Bragg (ma anche dei picchi
anelastici), quindi, viene diminuita di questo fattore quando si considerino
le vibrazioni del reticolo, a causa del disordine introdotto dai moti atomici,
disordine che inserisce un "rumore" nella simmetria traslazionale del cristallo.
Passando ad una descrizione quantistica delle vibrazioni reticolari, si ha che
D
Q 2 (q)
Nm
il valor medio (media termica) di è uguale a ¡ n(q)+ 1 ~
,dove
2 Nmω
T
n(q) è il numero di occupazione bosonico dell’oscillatore armonico quantistico
corrispondente al modo q:
n(q) =
E
1
q
exp( ~ω(q)
kT ) − 1
Il fattore di Debye-Waller dipende quindi dalla temperatura, ed in particolare
si ha che W è proporzionale a T ad alte temperature (sopra la temperatura
di Debye), mentre assume un valore costante, ma non nullo (a
causa dell’energia vibrazionale di punto zero) alle basse temperature. Se
nell’espressione (207), invece di arrestarci allo sviluppo lineare, tenessimo
conto anche dei termini che contengono prodotti di due o piu’ termini del
tipo iQ · (u n (q)+u ∗ n
(q)), si avrebbero nell’espressione dell’intensità anche
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