Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 57
Le ω α = ω α (q) sono dette relazionididispersione. Considerando i moti
vibrazionali degli s nuclei di una cella primitiva abbiamo a che fare con 3s
gradidiliberta. Tra questi 3 appartengono al centro di massa della base e si
parla di branche acustiche, mentre3s − 3 appartengono a moti interni della
base e si parla di branche ottiche. Laterminologiaacustiche deriva dal fatto
che, per q → 0, imodi acustici (se eccitati coerentemente) coincidono con le
onde elastiche macroscopiche caratterizzate da ω α (q) =v α (q/|q|)q, dovela
quantità v α (q/|q|), che dipende solo dalla direzione di propagazione q/|q|,
èlavelocità del suono e α può corrispondere ad un’onda quasi-longitudinale
(α 1 = L) o a due diverse onde quasi-trasverse (α 2 = T 1 , α 3 = T 2 ). Le tre
velocità del suono sono, in generale, diverse. Quasi indica che la polarizzazione
di queste onde è prevalentemente longitudinale o prevalentemente
trasversa. Lungo particolari direzioni di simmetria in alcuni cristalli (per
esempio i cubici) le onde sono completamente longitudinali o completamente
trasverse. La terminologia ottiche deriva dal fatto che i modi corrispondenti
possono possedere un momentodidipoloelettricofluttuante edeterminare
l’assorbimento ottico del cristallo nell’infrarosso oppure avere associata una
fluttuazione di polarizzabilità elettrica e determinare lo scattering Raman vibrazionale
di fotoni (nell’infrarosso, nel visibile e nell’ultravioletto) da parte
del cristallo. Se un cristallo è semplicemente costituito da un reticolo di
Bravais e da una base di un solo atomo per cella primitiva in esso esistono
solo modi acustici. Nel silicio (cubico a facce centrate con 2 atomi per cella
primitiva: struttura del diamante) esistono, oltre alle 3 branche acustiche,
3×2−3 =3branche ottiche: una longitudinale e due trasverse. La soluzione
più generale delle equazioni ridotte (245) èquindilacombinazione lineare:
µ p
u
n
= 1 p
Nmp
X
q∈BZ
1,3s
X
Q(q,α)e (p, q,α) e iq·n e −iω α(q)t
Introducendo queste soluzioni nell’Hamiltoniana vibrazionale
H v = X n
1,s
X
p
α
∂L
µ v
p
∂ ˙u
n
µ p
˙u
n
(254)
− L v (255)
si ottiene finalmente (utilizzando le proprietà dei versori di polarizzazione) il
risultato fondamentale dell’approssimazione armonica:
H v = 1 2
X
q∈BZ
1,3s
X ©
|P (q,α)| 2 + ω 2 α(q) |ξ(q,α)| 2ª (256)
α