Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 68
³ ´3
4
π ω
3 v l
N l (ω) = ³ ´ = V cristalloω 3
8π 3 6π 2 vl
3 V cristallo
g l (ω) = d V cristallo ω 3
dω 6π 2 vl
3
= V cristalloω 2
2π 2 v 3 l
(315)
(316)
cioè una densità di modi parabolica. Ripetendo il ragionamento per le due
branche trasverse (degeneri nel continuo elastico isotropo) si ha la densità
totale di modi
g(ω) = V cristalloω 2
2π 2 v 3 (317)
con
1
v = 1 + 2 3 vl
3 vt
3 (318)
La frequenza di Debye si ottiene dalla condizione
Z ωD
come
µ N
ω 3 D =18π 2 v 3 V cristallo
grazie alla quale si può scrivere
0
g(ω)dω =3N (319)
(320)
g(ω) = 9Nω2
ω 3 D
(321)
A questo punto è possibile generalizzare l’espressione del calore specifico nel
modello di Einstein (vedi sopra), considerandola valida per il singolo modo
di frequenza ω e sommando su tutti i modi:
c V =
µ ∂U
∂T
V
= 3N A
K B T 2 Z ωD
0
~ ω
(~ω) 2 e
µ
e ~ ω
K BT − 1
K B T
2
g(ω)dω (322)
L’espressione così trovata del calore specifico è in buon accordo con i dati
sperimentali;ogni solido è individuato dalla sua temperatura di Debye
Se poniamo
Θ D = ~ω D
K B
(323)
z = ~ω
K B T
(324)