Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 80
Limitandoci ai processi di assorbimento al primo ordine nella teoria delle
perturbazioni (lo stato iniziale è lo stato fondamentale) risulta:
dP if
dt
= 2π ~
¯
¯hf| W c ¯
|ii
¯2 δ
³
´
E (o)
f
− E (o)
i − ~ω
(376)
dove gli elementi di matrice della parte indipendente dal tempo dell’operatore
di perturbazione hanno l’espressione:
hf|cW |ii = eE 0
hf|eik·r e·bp|ii (377)
2iωm
essendo bp = −i~∇ l’operatore quantità di moto e m la massa dell’elettrone
nel vuoto. Per giustificare la (377) occorre ricordare quanto segue. Utilizzando
la gauge del vuoto, il campo elettromagnetico può essere derivato dal
solo potenziale vettore A (con divergenza nulla ∇ · A =0)come:
E = − ∂A
∂t
B = ∇ × A
(378)
In queste condizioni la funzione di Hamilton di una carica q di massa m che
si muova nel campo e.m. con quantità di moto p ha l’espressione
|p − qA|2
H v = (379)
2m
Se la carica è anche sottoposta all’azione di un campo elettrostatico (dovuto
ad altre cariche fisse) di potenziale V (r), e possiede quindi l’energia potenziale
qV (r) =U(r), la funzione di Hamilton totale diventa
|p − qA|2
H = + U(r) (380)
2m
Sviluppando il modulo quadrato, riordinando diversamente i termini e sostituendo
a p l’operatore quantità di moto, si può ottenere l’operatore Hamiltoniano
quantistico nella forma:
con
bH 0 = |bp|2
2m
bH = b H 0 + b H p (381)
+ U(r) (382)
bH p = − q |qA|2
A·bp +
m 2m ≈−q A·bp (383)
m