Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 50
un approssimazione a campo medio (per es. equazioni di Hartree) e dare luogo
a un’insieme di stati di elettrone singolo (quasi-particelle indipendenti).
Se poi nelle eq. di Schroedinger di campo medio per i singoli elettroni poniamo
u = 0, l’energia potenziale media totale hV ee (r)i + V en (r, 0) possiede
l’invarianza traslazionale del reticolo di Bravais e possiamo utilizzare il teorema
di Bloch per calcolare gli stati monoelettronici (struttura a bande).
A questo punto cerchiamo le autofunzioni dell’Hamiltoniano completo bH
bH = bH 0 + bT n + V nn (u) (218)
bHΨ(r, u) =EΨ(r, u) (219)
nella forma
Ψ(r, u) = X β
φ (β) (u)ψ β (r|u) (220)
Moltiplicando a sinistra l’eq. agli autovalori (219) per ψ ∗ α(r|u) eintegrando
sulle coordinate elettroniche r (le ψ α (r|u) sono un insieme completo di funzioni
ortonormali) si ottiene
h
T bn + E α
(e) (u)+V nn (u)
i
φ (α)
v
(u) =E (α)
v
φ (α)
v (u) (221)
avendo trascurato i termini non adiabatici di cui si dirà più oltre. In questa
approssimazione per ogni stato elettronico stazionario ψ α (r|u) si ha uno spettro
di stati vibrazionali φ (α)
v (u) corrispondenti ai livelli energetici vibrazionali
E v
(α) . Nell’eq. (221) l’energia totale elettronica approssimata E α
(e) (u) gioca il
ruolo di una parte dell’energia potenziale che governa il moto degli ioni. Per
ottenere la (221) si sono trascurati i termini
− ~2 X ³ ´ µZ
2∇ u φ (β) (u) · ψ ∗
2M
α(r|u)∇ u ψ β (r|u)dr + (222)
− ~2
2M
β
X
β
µZ
φ (β) (u)
ψ ∗ α(r|u)∇ 2 uψ β (r|u)dr
La matrice di indici α e β
Z
ψ ∗ α(r|u)∇ u ψ β (r|u)dr (223)
ha gli elementi diagonali nulli in quanto
Z
ψ ∗ α(r|u)∇ u ψ α (r|u)dr = ∇ u
Z
ψ ∗ α(r|u)ψ α (r|u)dr (224)