Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 82
rappresentata dall’onda piana (375). Le transizioni avvengono tra gli stati
di Bloch (occupati) della banda di valenza
|ii = u v k i
(r)e ik i·r
(388)
di energia E v (k i ) e gli stati di Bloch (vuoti) della banda di conduzione
|fi = u c k f
(r)e ik f ·r
(389)
di energia E c (k f ) generando coppie elettrone-buca. Considerando gli elementi
di matrice nella (377) si vede essi risultano proporzionali a
Z
−i~hf|e ik·r ∇|ii = −i~ u c∗
k f
(r)e −ik f ·r e ik·r ∇ ¡ u v k i
(r)e ¢ ik i·r
dr (390)
V
dove l’integrale è esteso al volume del cristallo. Introducendo le coordinate
elettroniche relative r 0 = r − n (dove n è il generico punto del reticolo di
Bravais) e integrando sul volume di una sola cella primitiva si può allora
scrivere
Z
e −i(k f −k−k i )·n
³u v k i
(r 0 )e ik i·r 0´
dr 0
hf|e ik·r ∇|ii = X u c∗
n
V 0 k f
(r 0 )e −ik f ·r 0 e ik·r0 ∇
(391)
Usando la (204), si vede che la somma reticolare P n e−i(k f −k−k i )·n ènullaa
meno che sia
k f − k i = k + g (392)
essendo g un vettore del reticolo reciproco. Questo principio di conservazione
del vettore d’onda totale nel cristallo è una conseguenza della simmetria
traslazionale. Limitandoci alla I BZ (g = 0) e osservando che il vettore
d’onda del fotone k è trascurabile rispetto alle dimensioni della BZ la regola
di selezione diventa k f = k i (approssimazione di dipolo elettrico). Sfruttando
anche l’ortogonalità degli statiinizialirispettoaglistatifinali si ottiene infine:
Z
−i~hf|e ik·r ∇|ii ≈ u c∗
V 0 k i
(r 0 )(−i~∇) u v k i
(r 0 )dr 0 (393)
Nella rappresentazione a bande (schema della zona ridotta) le transizioni
risultano quindi verticali. Utilizziamo in fine la relazione
hf|bp|ii = im ³ ´
E (0)
f
− E (0)
i hf|r|ii (394)
~
che deriva dalla legge quantistica per la derivata temporale dell’operatore r
dr
dt = 1 i hr, bH 0 = bp (395)
i~ m