Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 8
2 Teorema di Bloch
Gli operatori traslazione reticolare b T n sono definiti dalla seguente formula:
In una dimensione:
bT n ψ(r) =ψ(r + T n )=ψ(r+n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ) (18)
bT n ψ(x) =ψ(x+T n )=ψ(x+na) (19)
Consideriamo il problema della determinazione degli stati stazionari elettronici
nel cristallo nell’ambito di un’approssimazione a elettroni indipendenti
in un campo medio periodico di energia potenziale
U(x+T n )=U(x+na) =U(x) (20)
Dobbiamo risolvere l’equazione agli autovalori
bHψ = Eψ (21)
con
bH = bp2 + U(x) (22)
2m
Essendo bH invariante rispetto a qualunque traslazione reticolare risulta:
[ bH, b T n ]=0 (23)
quindi le autofunzioni di b H sono anche autofunzioni di b T n .
Si sfrutta il fatto che b T n è additivo:
bT n ψ(x) =λ(n)ψ(x) (24)
bT n1Tn2 b ψ(x) = ψ(x+n 1 a + n 2 a)= (25)
= ψ(x+(n 1 + n 2 )a) = T b n1 +n 2
ψ(x)
usando l’equazione agli autovalori:
λ(n 1 )λ(n 2 )ψ(x) =λ(n 1 + n 2 )ψ(x) (26)
λ(n 1 )λ(n 2 )=λ(n 1 + n 2 ) (27)
quest’ultima equazione è soddisfatta da
λ(n) =e sna (28)