Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 56
dei vettori q è riconducibile agli N vettori contenuti nella prima zona di
Brillouin. Con l’aiuto del teorema di Bloch l’insieme delle 3sN equazioni
dinamiche è ridotto all’insieme delle 3s equazioni che governano le vibrazioni
degli s nuclei della base della sola cella 0. Mettendo in evidenza la dipendenza
da q e omettendo invece il pedice 0, il nuovo sistema ridotto di equazioni si
può scrivere come
Ã
X1,s
X
m p ü (p, q) =−
h
p 0
µ
0
pp
Φ
h
e iq·h !
³ ´
: u p 0 , q
(248)
Introduciamo allora la matrice dinamica
µ
0
pp
µ
0
pp
D = X Φ
h
q
√ e iq·h (249)
mp m
h
p
0
trasformata di Fourier discreta del tensore delle costanti di forza interatomiche
e cerchiamo soluzioni temporalmente armoniche
u (p, q) =
1
p Nmp
Q(q)e (p, q) e −iω(q)t (250)
in cui abbiamo introdotto i versori di polarizzazione e (p, q) elecoordinate
normali ξ(q) =(Q(q)/ p Nm p )e −iω(q)t (le Q(q)/ p Nm p sono le ampiezze
delle coordinate normali e le ω(q) le frequenze proprie o autofrequenze vibrazionali).
Una soluzione armonica di questo tipo configura un modo normale
di vibrazione del cristallo. Introducendo la soluzione precedente nelle
equazioni dinamiche ridotte si ottiene il problema agli autovalori
1,s
X
p 0
½ µ
0
pp
D
q
¾
− ω 2 α(q)δ pp
0
³ ´
: e p 0 , q,α =0 (251)
da cui risulta che, per ogni q, i quadrati delle frequenze proprie e i
versori di polarizzazione sono, rispettivamente, gli autovalori e gli
autovettori della matrice dinamica dipendenti da un indice di branca α.
La matrice dinamica è autoaggiunta: ne risulta che gli autovalori sono reali
e gli autovettori un insieme completo ortonormale:
1,s 1,3
X
p
X
j
e ∗ j (p, q,α) e j
³
p, q,α 0´
X
e ∗ j (p, q,α) e j
0
α
³ ´
p 0 , q,α
= δ αα
0 (252)
= δ pp
0 δ jj
0 (253)