Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 101
Seguendo Dirac, costruiamo la soluzione dell’equazione di Schroedinger (470)
come
ψ(t) = X E(o)
−i
n
a n (t)ϕ n e ~
t
(473)
n
All’istante t 0 + τ la perturbazione cessa. Il modulo quadrato del coefficiente
a n (t 0 +τ) rappresenta la probabilità di transizione P m→n (τ) dallo stato iniziale
|ϕ m i = |mi allo stato finale |ϕ n i = |ni nell’arco di tempo τ (nel seguito
porremo t 0 =0):
P m→n (τ) =|a n (τ)| 2 (474)
Inserendo la funzione d’onda nella forma (473) nell’eq. di Schroedinger e
sfruttando l’ortonormalità delle ϕ n (hn|li = R ϕ ∗ nϕ l dr = δ nl ), si ottiene un
sistema di equazioni differenziali ordinarie per i coefficienti a n (t)
i~ da n(t)
= X (t)|kie
dt
k6=nhn|bV iωnkt a k (t) (475)
dove
ω nk = E(o) n
− E (o)
k
~
(476)
con la condizione iniziale
a n (0) = δ nm (477)
Gli elementi di matrice dell’operatore di perturbazione sono definiti come:
Z
V nk (t) =hn| V b (t)|ki = ϕ ∗ b nV (t)ϕ k dr (478)
e si è fatta l’ipotesi che tutti gli elementi diagonali siano nulli, valida in molti
casi di interesse (vedi oltre). Anzitutto si integra rispetto al tempo ogni
equazione del sistema ottenendo (per n 6= m):
a n (t) = 1 Z t X
hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 a k (t 0 )dt 0 (479)
i~
0
k6=n
Poi si procede con una soluzione iterativa assumendo che le soluzioni di ordine
0 coincidano con le condizioni iniziali:
a (0)
n (t) =a n (0) = δ nm (480)
Lesoluzionidiordine1 si ottengono allora inserendo le soluzioni di ordine 0
nel sistema di equazioni integrali (479) a destra del segno di uguale:
a (1)
n (t) = 1
i~
Z t
0
X
hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 a (0)
k
)dt 0 (481)
(t0
k6=n