Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 101 Seguendo Dirac, costruiamo la soluzione dell’equazione di Schroedinger (470) come ψ(t) = X E(o) −i n a n (t)ϕ n e ~ t (473) n All’istante t 0 + τ la perturbazione cessa. Il modulo quadrato del coefficiente a n (t 0 +τ) rappresenta la probabilità di transizione P m→n (τ) dallo stato iniziale |ϕ m i = |mi allo stato finale |ϕ n i = |ni nell’arco di tempo τ (nel seguito porremo t 0 =0): P m→n (τ) =|a n (τ)| 2 (474) Inserendo la funzione d’onda nella forma (473) nell’eq. di Schroedinger e sfruttando l’ortonormalità delle ϕ n (hn|li = R ϕ ∗ nϕ l dr = δ nl ), si ottiene un sistema di equazioni differenziali ordinarie per i coefficienti a n (t) i~ da n(t) = X (t)|kie dt k6=nhn|bV iωnkt a k (t) (475) dove ω nk = E(o) n − E (o) k ~ (476) con la condizione iniziale a n (0) = δ nm (477) Gli elementi di matrice dell’operatore di perturbazione sono definiti come: Z V nk (t) =hn| V b (t)|ki = ϕ ∗ b nV (t)ϕ k dr (478) e si è fatta l’ipotesi che tutti gli elementi diagonali siano nulli, valida in molti casi di interesse (vedi oltre). Anzitutto si integra rispetto al tempo ogni equazione del sistema ottenendo (per n 6= m): a n (t) = 1 Z t X hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 a k (t 0 )dt 0 (479) i~ 0 k6=n Poi si procede con una soluzione iterativa assumendo che le soluzioni di ordine 0 coincidano con le condizioni iniziali: a (0) n (t) =a n (0) = δ nm (480) Lesoluzionidiordine1 si ottengono allora inserendo le soluzioni di ordine 0 nel sistema di equazioni integrali (479) a destra del segno di uguale: a (1) n (t) = 1 i~ Z t 0 X hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 a (0) k )dt 0 (481) (t0 k6=n
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 102 ottenendo così a (1) n (t) = 1 i~ 1 i~ Z t X hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 δ km dt 0 = (482) 0 k6=n Z t 0 hn|bV (t 0 )|mie iω nmt 0 dt 0 L’iterazione prosegue inserendo nuovamente nel sistema (479) adestradel segno di uguale a (0) n (t)+a (1) n (t) =δ nm + 1 i~ a (2) n (t) = 1 i~ e ottenendo così: Z t Z t 0 Z t X h hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 k6=n 0 hn|bV (t 0 )|mie iω nmt 0 dt 0 (483) i n (t 0 )+a (1) n (t 0 ) dt 0 (484) a (2) n (t) = 1 hn|bV (t 0 )|mie iωnmt0 dt 0 + (485) i~ 0 µ 2 1 X Z Z t hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 t 0 hk|bV (t 00 )|mie iω kmt 00 dt 00 dt 0 i~ k6=m 0 ecosìdiseguito: a (l+1) n (t) = 1 Z t X h i hn|bV (t 0 )|kie iω nkt 0 a (0) n (t 0 )+a (1) n (t 0 )+... + a (l) n (t 0 ) dt 0 i~ 0 k6=n (486) Consideriamo l’approssimazione di ordine 1 nel caso in cui bV (t) =cW 0 .Dalle (482, 474) si ottiene: P (1) m→n(τ) = ¯ ¯hn| W c 0 |mi a (0) 0 ¯ ¯2 ¡ τ 2 sin2 ω nmτ ¢ 2 ~ 2 ¡ ωnmτ ¢ 2 (487) 2
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