Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 69 possiamo riscrivere l’espressione del calore specifico come µ 3 Z T ΘD /T z 4 e z c V =3N A K B 3 Θ D 0 (e z 2 dz (325) − 1) A basse temperature (Θ D /T → ∞) l’integrale tende a una costante e il calore specificovaazerocomeT 3 . Per alte temperature l’estremo superiore di integrazione tende a zero per cui Z ΘD /T 3 0 z 4 e z Z ΘD /T (e z − 1) 2 dz ≈ 3 0 z 2 dz = µ ΘD T 3 (326) e c V ≈ 3N A K B =3R (327) come ci si deve aspettare (legge di Dulong e Petit). Come si vede il cristallo si comporta in modo classico per T >> Θ D einmodoquantisticoper T
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 70 elettrostatica e gli stati elettronici sono tutti di tipo atomico localizzato. Tuttavia è anche importante il caso dei composti III-V (come GaAs) eII-VI (come ZnS, zincoblenda) dove gli elettroni di valenza sono descritti da onde di Bloch e il legame è covalente/ionico. Caratteristica comune di questi cristalli è l’assenza di un centro di simmetria e la conseguente esistenza di un momento di dipolo elettrico in ogni cella primitiva (momento di dipolo totale degli ioni della base). Una struttura caratteristica è quella della zincoblenda. Il reticolo di Bravais è f.c.c. (come nel caso del C − diamante edelSi). La base è composta da due atomi posti in (0,0,0) e in (1/4,1/4,1/4), lungo la diagonale principale della cellacubicaconvenzionale,inunitàa (lato della cella cubica). Possiamo immaginare che in (0,0,0) vi sia lo ione positivo e in (1/4,1/4,1/4) lo ione negativo. Considerando la propagazione di onde elettromagnetiche nella direzione (111), possiamo schematizzare in prima approssimazione la dinamica reticolare come quella di una catena unidimensionale con due atomi per cella (vedi sopra),perquantoriguardalabrancaω 2 (q) delle relazioni di dispersione. Studiamo la risposta forzata della catena sotto l’azione del campo elettrico di un onda elettromagnetica E = E 0 e i(kx−ωt) (328) che si propaghi nella stessa direzione x(111). Il problema 3D è complesso e bisognerebbe studiare sia la polarizzazione longitudinale sia quella trasversale, sia per il campo dell’onda nel cristallo (nella materia possono esistere anche onde elettromagnetiche longitudinali) sia per gli spostamenti atomici. Prescindendo dalla polarizzazione possiamo scrivere direttamente le equazioni del moto forzato degli ioni nella forma (e = valore assoluto della carica di uno ione) µ 1 m 1 ü n µ 2 m 2 ü n µ 1 = −2κu n ⎡ ⎛ ⎣i(k(x 1 ⎝ +eE 0 e n µ 2 = −2κu n +eE 0 e ⎡ ⎛ ⎣i(k(x ⎝ 2 n µ 2 + κu n ⎞ ⎛ ⎠+u ⎝ 1 n µ 1 + κu ⎞ ⎛ ⎠+u n +1 ⎝ 2 n µ 2 + κu n − 1 ⎞ ⎤ ⎠)−ωt) ⎦ ⎞ ⎤ ⎠)−ωt) ⎦ µ 1 + κu n + + (329) Assumendo che la lunghezza d’onda λ =2π/k sia molto maggiore di a (passo reticolare), applichiamo alle equazioni precedenti il teorema di Bloch (come già fatto per la catena con un solo atomo per cella) supponendo che
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