Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 13
dove il fattore 2 tiene conto della degenerazione di spin. La densita degli stati
assume allora l’espressione
g(E) = dN
dE = V µ 3
2m
2 √
E (58)
2π 2 ~ 2
Lo stato fondamentale del gas di elettroni liberi (allo zero assoluto) si costruisce
riempiendo gli stati (56) per energie crescenti e in accordo con il principio
di esclusione di Pauli sino all’energia massima E F detta energia di Fermi.
All’energia di Fermi corrisponde una superficie sferica di raggio k F = k(E F ).
Il vettore d’onda di Fermi si ottiene dalla (57) uguagliando N(E F ) al numero
N di elettroni contenuti nel volume V
k F =
µ
3π 2 N V
¡
E F = ~2 3π 2 N V
(59)
2m
Come si vede il vettore d’onda di Fermi el’energia di Fermi dipendono
esclusivamente dalla densità elettronica (densità volumica degli elettroni di
valenza). A temperatura finita T la probabilità f(E|T ) che uno stato di
energia E sia occupato è data dalla distribuzione di Fermi-Dirac
1
f(E|T )=
exp( E−µ )+1 (60)
k B T
dove µ èilpotenziale chimico di un elettrone. In molti casi si può usare
l’approssimazione µ(T ) ≈ µ(0) = E F , vista la debole dipendenza di µ dalla
temperatura (vedi calore specifico elettronico). Si introduce poi la densità
degli stati occupati
Ovviamente
1
3
¢ 2
3
D(E|T )=g(E)f(E|T )= V µ 3
2m
2
2π 2 ~ 2
Z ∞
0
D(E|T )dE =
Z EF
0
√
E
exp( E−µ
k B T )+1 (61)
g(E)dE = N (62)
per un conduttore isolato. Quando la lunghezza d’onda di Fermi λ F =2π/k F
è dell’ordine del passo reticolare (in 1D quando λ F =2a), c’è da aspettarsi
che si possa verificare per un elettrone sulla superficie di Fermi una riflessione
di Bragg (diffrazione dell’onda elettronica, vedi teoria dello scattering) da
parte di una famiglia di piani reticolari. In questo caso il modello a elettroni
liberi è inadeguato.