Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 18
6.2 Superficie di Fermi e densità degli stati
In presenza delle discontinuità ai bordi di zona, la superficie di Fermi (non più
sferica) è l’insieme delle superfici caratterizzate dalle equazioni E F = E α (k)
per ciascuna zona (banda/branca) non completamente occupata. Quanto
piùcisidiscostadallaformasferica,tantopiùforteel’effetto del potenziale
periodico. In generale la densità degli stati in funzione dell’energia per una
data branca α può essere calcolata integrando la densità degli stati 2V/(2π) 3
nello spazio k in un volume infinitesimo racchiuso tra le superfici di equazione
E = E α (k) e E + dE = E α (k), rispettivamente, e dividendo il risultato per
dE:
g α (E) = dN α Z
(E) 2V
=
dE (2π) 3 dk = (89)
dE
Z
2V
=
(2π) 3 dS E dk ⊥ = V Z
dS E
dE
4π 3 |∇ k E α |
dove dS E è l’elemento infinitesimo della prima superficie e dk ⊥ rappresenta la
distanza tra le due superfici. Abbiamo utilizzato la formula dE = |∇ k E α | dk ⊥ .
La densità totale degli stati risulta quindi
g(E) = X g α (E) = V X
Z
dS E
(90)
4π 3 |∇
α
α k E α |
Dove la velocità media di uno stato di Bloch è nulla (punto critico nella
I zona di Brillouin) compaiono dunque delle singolarità nella densità degli
stati in funzione dell’energia, dette singolarità di van Hove. Poiché, per il
teorema di Kramers (simmetria −t, t), E(−k) =E(k) il punto Γ [(k = 0)] è
sempre un punto critico. Per i reticoli f.c.c. lo sono anche, per ragioni di simmetria
geometrica, i punti X [k =(2π/a)(100)] e L [k =(2π/a)(1/2 1/2 1/2)].
Ricordiamo che il segmento ΓL viene denominato Λ mentre il segmento ΓX
viene denominato ∆. In prossimità di un punto critico è possibile esprimere
E = E(k) per una data branca α come una forma quadratica. Utilizzando
le direzioni degli assi principali si può scrivere
E=E 0 + α x k 2 x + α y k 2 y + α z k 2 z (91)
Il generico punto critico viene denotato come M n dove n èilnumerodicoefficienti
negativi nella relazione precedente. A titolo di esempio costruiamo la
densità di stati per M 0 nel caso isotropo: α x = α y = α z = α>0. Utilizzando
le coordinate polari |k| ,ϑ, ϕ si ha
g(E) = V
4π
ZS
3 µ
|k|=q
E−E0
α
|k|2 sin ϑdϑdϕ
2α |k|
=
V
4π 2 α 3/2 p
E−E0 (92)