Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 61
11.4 Catena lineare un atomo per cella; limite del continuo:
onde elastiche
In questo caso il sistema è ancora più semplice del precedente: un solo nucleo
di massa m per cella di lato a (x n = na) sempre con interazioni tra primi
vicini κ. Il problema è così semplice che possiamo risolverlo direttamente
utilizzando la legge di Newton che governa il moto delgenerico nucleo n che
interagisce che i nuclei n − 1 e n +1. Si ottiene così il sistema di N (n =
1, 2, ..., N) equazioni accoppiate:
mü n = −2κu n + κu n−1 + κu n+1 (263)
Poichè abbiamo a che fare con un reticolo periodico (cristallo 1D), possiamo
applicare il teorema di Bloch (in forma discreta):
u n = u 0 e iqna (264)
riconducendoci ad un’unica equazione per il moto del necleo che si trova nella
prima cella (n =0):
µ 2κ
ü 0 = − u 0 +
m
³ κ
³ µ
κ 2κ
u 0 e
m´
−iqa + u 0 e
m´
iqa = − (1 − cos(qa))u 0
m
(265)
Cercando ora una soluzione armonica
u 0 (t) = √ Q e −iωt (266)
Nm
si ottiene la condizione di solubilità:
³ κ
³ qa
´
ω 2 =4 sin
m´
2 2
(267)
cioè
r κ ³
¯ qa
ω =2 ¯sin
´¯¯¯ (268)
m 2
1
y
0.75
0.5
0.25
0
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
Relazione di dispersione y= p m/κω/2
x