Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 51
è il gradiente rispetto agli spostamenti ionici del numero totale di elettroni.
Glielementidiagonalidellamatrice
−~ 2 Z
ψ ∗
2M
α(r|u)∇ 2 uψ β (r|u)dr (225)
sono un multiplo m/M dell’energia cinetica totale degli elettroni e sono quindi
trascurabili. Infatti, nel caso di più forte interazione elettrone-ione (cioè il
caso peggiore), possiamo scrivere ψ α (r|u) =ψ α (r − u). Ne risulta quindi:
Z
ψ ∗ α(r − u) −~2
2M ∇2 uψ α (r − u)dr = m Z
M
ψ ∗ α(r − u) −~2
2m ∇2 rψ α (r − u)dr
(226)
In generale invece gli elementi fuori diagonale non sono nulli e possono provocaretransizionitrastatielettroniciquandogliionisimuovono(interazione
elettrone-fonone).
11 Dinamica reticolare
11.1 Calore specifico reticolare: modello di Einstein
Per i solidi isolanti vale (ad alta temperatura) la legge di Dulong e Petit che
afferma che il calore specifico molare c V è costante e vale 3R. R = N A K B '
8.31 Jmole −1 K −1 è la costante dei gas perfetti, N A è il numero di Avogadro
e K B la costante di Boltzmann. Sperimentalmente risulta (contrariamente
alle previsioni della meccanica statistica classica: principio di equipartizione
dell’energia) che c V tende ad annullarsi a bassa temperatura. Una prima
spiegazione quantistica di quest’ultimo fatto fu data da Einstein sulla base
di un modello sovrasemplificato dei moti vibrazionali dei nuclei degli atomi
dei cristalli. Einstein assume che ogni nucleo oscilli armonicamente attorno
alla sua posizione ufficiale di equilibrio con una frequenza ω E uguale per tutti
i nuclei. Alla luce della moderna dinamica reticolare quantistica si tratta di
un’ipotesi accettabile solo ad alta temperatura, quando i singoli moti nucleari
si possono ritenere indipendenti (scorrelati). Tuttavia il modello di Einstein
spiega qualitativamente la dipendenza di c V dalla temperatura T anche per
T → 0. Il ragionamento è il seguente. Ogni nucleo è trattato come un
oscillatore quantistico di frequenza ω E . Lo spettro dei livelli energetici di
tale oscillatore è
µ
E n = n + 1
~ω E (227)
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