Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 20
se si trascurano gli integrali di sovrapposizione.Calcoliamo allora il valore di
aspettazione dell’energia nello stato ψ a k
Z
¸
E a (k) = ψ a∗
k (r)
∙− ~2
2m ∇2 +U(r) ψ a k(r)dr (96)
dove U(r) è il potenziale periodico esatto. Introducendo ∆U(r) =U(r)−U 0 (r),
una funzione che ha il suo massimo in r = 0 (abbiamo assunto il punto reticolare
n come origine delle coordinate) e trascurando alcuni integrali di sovrapposizione,
si ottiene
E a (k) = X E h e ik·h (97)
h
con
E 0 ≈ E a (98)
E h6=0 ≈ 1 Z
φ ∗
N
a(r + h)∆U(r)φ a (r)dr
L’equazione (97) potrebbe essere la rappresentazione esatta di Fourier
di una funzione periodica di k (vedi teorema di Wannier oltre) in cui però
utilizziamo l’espressione approssimata (98). Vista la natura di ∆U(r) edi
φ a (r), dobbiamo aspettarci che E h sia molto piccolo eccetto che per primi
vicini. In una dimensione (x n = nd), considerando che E ±d è negativo,
possiamo scrivere (curva nera in figura; il livello atomico è la linea rossa.
Abbiamo posto E min =0)
E a (k) ≈E a − 2 |E ±d | cos(dk) (99)
Si ha dunque una banda con un minimo E min = E a − 2 |E ±d | in k =0e
un massimo E max = E a +2|E ±d | a bordo zona k = ±π/d. La larghezza
della banda èdunqueparia4 |E ±d |. Sedunqueillegameèmoltofortela
probabilità di salto da un sito al successivo E h è piccola e la banda è quasi
piatta (livello atomico).
E(k)
Banda "tight binding"
ak