Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 85 . Bande del Germanio χ ” del Germanio 12.3.1 Transizioni indirette La teoria del paragrafo precedente descrive bene le proprietà dei semiconduttori a gap diretto quali per es. GaAs, InP etuttiicompostiII-VI.Quando invece il massimodellabandadivalenzaeilminimo della banda di conduzione non corrispondono allo stesso k la transizione diretta tra questi due stati non è possibile (vedi figura). Transizioni interbanda indirette
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 86 Questo è il caso per es. di Si, Ge, SiC. In particolare nel silicio E v (Γ) → E c (L) è proibita al primo ordine dalle regole di selezione di dipolo elettrico. In presenza dei fononi, può avvenire una transizione indiretta (in due stadi successivi). Questi processi indiretti sono importanti anche per quei semiconduttori a gap diretto in cui le transizioni verticali sono vietate dalla simmetria di punto (eq. 396), anche se solo in Γ, comeinCu 2 O.Con riferimento al principio adiabatico (eq. 217) l’interazione V en (r, u) può essere scritta come una somma reticolare V en (r, u) ≈ X V en (r − n) − X u n·∇V en (r − n) (409) n n avendo introdotto i potenziali schermati di coppia V en (r − n − u n ). Sviluppando u n in coordinate normali (254) e considerando (per semplicità) attivo un solo modo normale, l’operatore di perturbazione elettrone-fonone può essere scritto come Ã ! bH en = − Q(q,α) X 2 √ e (q,α) ·∇V en (r − n)e iq·n e −iωα(q)t + c.c. (410) Nm n n Il termine e −iωα(q)t è responsabile dell’assorbimento (distruzione)diunfonone mentre il c.c. dell’emissione stimolata (creazione) di un fonone. Un’analisi degli elementi di matrice dell’operatore (410) tra gli stati iniziali e finali del tipo |φ (β) (u)ψ β (r|0) > (per il significato dei simboli si veda il principio adiabatico) mostra che le transizioni devono conservare il vettore d’onda totale (vedi anche eq. 209 e teoria dello scattering anelastico): k f − k i = ±q + g (411) Gli eventi N (Normal) corrispondono a g = 0; gli eventi U (Umklapp) a g 6= 0. In presenza della perturbazione (410) e della perturbazione fotoneelettrone H b pe (385) la transizione indiretta può avvenire secondo due diversi percorsi. Nel primo caso, per assorbimento di un fotone, avviene la transizione diretta verticale E v (Γ) → E c (Γ) e poi, grazie alla creazione o alla distruzione di un fonone di vettore d’onda q(L), la transizione quasi orizzontale E c (Γ) → E c (L). Nel secondo caso, grazie alla creazione o alla distruzione di un fonone di vettore d’onda q(L), avviene la transizione E v (Γ) → E v (L) e, poi, grazie all’assorbimento di un fotone, transizione diretta verticale E v (L) → E c (L). La probabilità cumulativa per unità di tempo di tali eventi può essere calcolata con la regola d’oro di Fermi al secondo ordine: dP vc = X Ã 2π X hf| bH en |jihj| bH pe |ii + dt ¯¯¯¯¯ hf| 2 bH pe |jihj| bH en |ii (412) ~ E k v k c j j − E i − ~ω E j − E i ± ~ω α (q) !¯¯¯¯¯ ×δ [E f (k c ) − E i (k v ) − ~ω ± ~ω α (q)]
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