Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 64
H v = 1 2
− N 2
X
+1, N 2
l
©
|Pl | 2 + ω 2 l |ξ l | 2ª (286)
con
P l = ∂L v
∂ ˙ξ
(287)
l
Come previsto nel caso generale 3D, la catena lineare periodica monoatomica
è equivalente ad un insieme di N oscillatori armonici indipendenti ciascuno
rappresentato da una coordinata normale. Introducendo l’operatore hamiltoniano
Ĥ v = 1 2
− N 2
X
+1, N 2
l
½¯¯¯ ˆP l¯¯¯2
+ ω
2
l
¯¯¯ˆξl¯¯¯2 ¾ (288)
con
ˆP l = −i~ ∂
(289)
∂ξ l
si può immediatamente passare alla descrizione quantistica delle vibrazioni
reticolari: il cristallo è, dal punto di vista vibrazionale, equivalenteadun
sistema di oscillatori armonici quantistici indipendenti. Nel caso generale
3D ogni oscillatore di coordinata normale ξ(q,α), frequenza propria ω(q,α)
e versore di polarizzazione e(q,α) può assumure i livelli energetici discreti
µ
E n (q,α)= n(q,α)+ 1
~ω(q,α) (290)
2
con n(q,α)=0, 1, 2, 3, ...L’energia totale vibrazionale è dunque pari a
E v = X
q∈BZ
1,3s
X
µ
n(q,α)+ 1
~ω(q,α) (291)
2
α
n(q,α) rappresenta il numero di quanti-fononi- (numero di popolazione) associati
al modo (coordinata normale) (q,α). L’insieme dei 3sN n(q,α) determina
completamento lo stato quantistico vibrazionale del cristallo. In equilibrio
termodinamico alla temperatura T , il contributo vibrazionale all’energia
interna del cristallo è
U v = X 1,3s
X
µ
hn(q,α)i T
+ 1
~ω(q,α) (292)
2
q∈BZ
α
dove
hn(q,α)i T
=
1
e ~ ω(q,α)
K B T
− 1
(293)