Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 104
³
con cW − = W +´†, c enellimiteτ →∞(ω
−1
nm ¿ τ ¿ τ m ),conprocedimento
analogo al precedente si ottiene per la probabilità di transizione per unità di
tempo eP m→n
(1)
¯
eP (1)
m→n ≈ 2π ~
¯
¯hn| W c± |mi
¯
¯2
δ ¡ E (o)
n
− E (o)
m ± ~ω ¢ (493)
La transizione avviene solamente se è verificato il principio di conservazione
dell’energia del sistema totale
E (o)
n
− E (o)
m ± ~ω =0 (494)
in accordo con il postulato di Bohr della vecchia teoria quantistica. Utilizzando
le (485) si avrebbe invece
eP (2)
m→n(τ) ≈ 2π ~
2π
~
¯
¯hn| W c ± ¯
|mi¯2
δ ¡ E n
(o) − E m (o) ± ~ω ¢ + (495)
X hn| W c± |kihk| c W ± |mi
2
δ ¡ E
¯ − E m (o)
n
(o) − E m (o) ± ~ω ± ~ω ¢
± ~ω ¯
k6=m
E (o)
k
Come si vede il numero di quanti di energia ~ω del secondo sistema coinvolti
nel processo è pari all’ordine della perturbazione. Le formule precedenti descrivono
l’assorbimento o l’emissione stimolata di uno o due quanti di energia
~ω rispettivamente. Al secondo ordine la transizione può essere vista come la
sequenza di due transizioni attraverso lo stato intermedio |ki. Le transizioni
intermedie tuttavia non conservano l’energia. La singolarità costituita dalla
delta di Dirac può essere rimossa osservando che lo stato finale, per esempio,
può appartenere a un continuo (stato quasi-stazionario). Introducendo la
densità degli stati g(E) eintegrandola(493) si ottiene
eP (1)
m→n
≈
Z 2π
~
¯
¯hn|cW ± |mi
2π
~
¯
¯hn|cW ± ¯
|mi
che di solito viene scritta come
¯
¯2
eP (1)
i→f ≈ 2π ~
¯2
δ ¡ E (o)
n
g(E (o)
m
∓ ~ω)
¯
¯hf|cW ± |ii
− E (o)
m
± ~ω ¢ g(E n
(o) )dE n (o) =(496)
¯
¯2 g(E f ) (497)
con E f = E i ∓ ~ω, e detta regola d’oro di Fermi, incuicompareladensità
degli stati finali g(E f ). Lo studio degli elementi di matrice hf|cW ± |ii genera
le regole di selezione.