Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

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c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 105 14.1.2 Interazioni fotone-elettrone: regole di selezione di dipolo elettrico La teoria del paragrafo precedente si applica all’interazione di un onda elettromagnetica con un sistema atomico (atomo, molecola, solido ecc.) e diventa particolarmente semplice nel caso di un’onda elettromagnetica piana, monocromatica, polarizzata linearmente con lunghezza d’onda λ À a, essendo a la dimensione linerare caretteristica del volume occupato dagli elettroni. Per una trattazione più generale vedi sopra la sezione Proprietà ottiche. Se l’onda è polarizzata lungo l’asse z e si propaga lungo l’asse x (per semplicità ci riferiamo all’atomo di idrogeno e poniamo l’origine nel nucleo), il campo elettrico dell’onda si può scrivere come E = Eu z cos(kx − ωt) (498) dove compare il vettore d’onda k =(2π/λ). Sihaallorachemax(|kx|) ≈ ka =2πa/λ ¿ 1, per cui E ≈ Eu z cos(ωt) = 1 2 Eu ¡ z e iωt + e −iωt¢ (499) Nella misura in cui questo campo non appare più come un onda viaggiante, possiamo trattare l’ interazione dell’atomo con il campo come quella di un dipolo elettrico µ = −er, trascurando gli effetti magnetici (e èilvalore assoluto della carica dell’elettrone). Assumiamo quindi come energia di perturbazione l’operatore bV = −µ · E = 1 2 Eezeiωt + 1 2 Eeze−iωt (500) che è quindi nella forma (492) con cW + = cW − = 1 Eez. Inquestocasogli 2 elementi di matrice dell’operatore di perturbazione sono pari a hf|cW ± |ii = 1 2 Eehf|z|ii. Per vedere quando sono nulli basta considerare l’integrale Z hf|z|ii = ϕ ∗ fzϕ i dr (501) Nel caso dell’atomo di idrogeno la parte orbitale delle 2n 2 funzioni d’onda appartenenti allo stesso livello di energia E n (o) ≈− 13.6 eV; (n =1, 2, ...) (502) n 2 ha l’espressione (in coordinate sferiche r, θ, φ): ϕ nlml (r, θ, φ) = F nl(r) Y lml (θ, φ) (503) r
c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 106 dove F nl (r) è la funzione d’onda radiale, Y lml (θ, φ) è un’armonica sferica, n è il numero quantico principale, l il numero quantico orbitale e m l il numero quantico magnetico. Gli stati hanno una parità definita rispetto all’inversione delle coordinate che dipende esclusivamente da Y lml (θ, φ) evale (−1) l (quando r →−r, r = |r| rimane invariato). Perchè dunque l’integrale non sia nullo, essendo z una funzione dispari, occorre che l f −l i = ∆l = ± numero dispari, cioè che lo stato finale abbia una parità opposta a quella dello stato iniziale. L’ulteriore considerazione della conservazione del momento angolare del sistema elettrone-fotone limita poi la scelta a ∆l = ±1 (regola di selezione ottica). In un atomo di numero atomico Z nell’approssimazione del campo medio, i livelli energetici monoelettronici dipendono da (nl) ela degenerazione si riduce a 2(2l +1). Tuttavia nella (503) , mentre cambiano le F nl (r) in funzione di Z, leY lml (θ, φ) rimangono invariate: non cambiano quindi le regola di selezione. In un cristallo gli stati iniziale e finale sono onde di Bloch appartenenti a bande diverse e bisogna considerare il momento di dipolo elettrico fluttuante totale della base del cristallo. Ciò conduce a regole di selezione specifiche che, se si va oltre l’approssimazione adiabatica, coinvolgono anche i fononi. 14.2 Perturbazioni statiche 14.2.1 Accensione adiabatica Assumiamo una perturbazione del tipo (eliminando la funzione rettangolo) bV (t) = lim cWe st (504) s→0 con s>0 e ¿ 1. Ponendot 0 = −∞ e t 0 + τ =0e non prendendo ancora il limite le (482) si scrivono: Z 0 a (1) n (0) = 1 i~ −∞ Z 0 i~ hn| cW |mi e st0 e iωnmt0 dt 0 = hn|cW |mi −∞ i~ iω nm + s = E m (o) hn|cWe st0 |mie iω nmt 0 dt 0 =(505) n E (o) m hn|cW |mi − E (o) n + is Prendendo ora il limite (si parla di adiabatic switching on della perturbazione statica cW ), si ha a (1) n (0) = hn| cW |mi (506) − E (o) e inserendolo nelle (473) si ottiene per la generica autofunzione perturbata ψ (1) m
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