Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 24
Vale a dire
i~ ∂ψ
∂t =[E(−i∇)+U F (r)] ψ (114)
Risulta così definito l’operatore Hamiltoniano equivalente
bH eq = E(−i∇)+U F (r) (115)
equivalente cioè all’operatore Hamiltoniano originario
bH = − ~2
2m ∇2 + U(r)+U F (r) (116)
E(−i∇) corrisponde quindi formalmente all’operatore energia cinetica di
una particella immersa esclusivamente nel campo di origine esterna U F (r).
L’operatore E(−i∇) congloba in realtà sia le proprietà inerziali della particella
sia l’effetto del potenziale periodico. Mostriamo ora perché il risultato
(114) venga citato come teorema della massa efficace per i pacchetti di onde
di Bloch. Supponiamo che k sia nell’intorno del minimo di una banda parzialmente
occupata (potrebbe essere il fondo della banda di conduzione di un
semiconduttore). In 1D possiamo allora scrivere
essendo
E(k)≈E c (0) + ~2 k 2
m ∗ =
~ 2
³
∂ 2 E(k)
2m ∗ (117)
(118)
∂k 2 ´0
Il corrispondente Hamiltoniano equivalente è quindi
bH eq = − ~2
2m ∗ ∇2 + E c (0) + U F (r) (119)
Se poi contiamo l’energia a partire da E c (0), cioè dal fondo della banda di
conduzione, abbiamo
bH eq = − ~2
2m ∗ ∇2 + U F (r) (120)
Questo hamiltoniano governa il moto di un elettrone che, in assenza della
forza esterna
F = −∇U F (r) (121)
sarebbe libero ma con una massa diversa da quella dell’elettrone nel vuoto:
la massa efficace m ∗ . In questo contesto l’energia potenziale si riduce a quella
della forza esterna mentre il potenziale periodico è assorbito nell’operatore