Appunti delle lezioni di Fisica dello stato solido A+B - Polihelp.com

c°2006 Carlo E. Bottani Lezioni di Fisica dello Stato Solido 22
anche mostrato il grafico di ∆U. Se ne desume che occorre cercare metodi
approssimati che partano da funzioni base più vicine alle funzioni di Bloch
esatte.
Potenziale periodico e potenziale atomico
8 Dinamica di un elettrone sotto l’azione di
un campo esterno
L’equazione (97), di validità generale, permette di dimostrare un teorema che
sta alla base della comprensione della dinamica degli elettroni in un cristallo
sotto l’azione di un campo esterno. Teorema di Wannier:
E a (−i∇)ψ α k(r) =E a (k)ψ α k(r) (104)
bE a = E a (−i∇) èl’operatore che si ottiene dalla funzione E a (k) con la
sostituzione
k →−i∇ (105)
Per la dimostrazione limitiamoci ad una sola banda (lasciamo cadere l’indice
α) e consideriamo il caso 1D: x n = na. Utilizzando la (97), costruiamo
l’operatore E ba = E a (−i∇) sotto forma di serie e applichiamolo all’onda di
Bloch ψ k (x)
E(−i ∂
∂x )ψ k(x) = X n
E n e na ∂
∂x ψk (x) = (106)
= X n
E n (1 + na ∂
∂x + 1 2 (na)2 ∂ 2
∂x 2 + ...)ψ k(x) =
= X n
E n ψ k (x+na) = X n
E n e ikna ψ k (x) =E(k)ψ k (x)
c.v.d. Nell’ultimo passaggio si è fatto uso del teorema di Bloch.